本节先从代数运算推出 $(a+b)^{3}$ 的标准展开式，再用立方体的体积解释这个公式。
立方表示三个相同因式相乘。运算时先处理前两个括号，再把结果与第三个括号相乘：
先把立方写成三个相同因式相乘，这是展开运算的起点。
然后用完全平方公式展开前两个括号，并保留第三个括号。
接着使用乘法分配律，让 $a^{2}$、$2ab$、$b^{2}$ 分别乘第三个括号。
把三个乘积分别展开，得到六项；同类项留到下一步合并。
最后合并同类项：$a^{2}b+2a^{2}b=3a^{2}b$，$2ab^{2}+ab^{2}=3ab^{2}$。
通过以上代数运算，可以得到和的立方展开式。下面从几何体积的角度说明这一公式的结构来源。
当 $a>0$、$b>0$ 时，可以把 $a$ 和 $b$ 看作两段长度。长、宽、高都为 $a+b$ 的立方体，体积就是 $(a+b)^{3}$。分别在长度、宽度和高度方向的 $a$ 与 $b$ 分界处切开，就会得到 $8$ 个体积块。
当长、宽、高都等于 $a+b$ 时，整体体积就是三个 $a+b$ 相乘。
每条边都由 $a$ 和 $b$ 两段组成。先看清三条边上的分界，再观察体积怎样被分成几块。
第一刀在长度方向的 $a$ 与 $b$ 分界处切开，整个立方体先被分成 $2$ 个体积块，并沿切口稍微分开。
第二刀在宽度方向的 $a$ 与 $b$ 分界处切开。两个方向各分成两段，于是形成 $4$ 个体积块。
第三刀在高度方向的 $a$ 与 $b$ 分界处切开。此时三个方向都已完成切分，得到了八个体积块。
每个小长方体的长、宽、高都从 $a$ 或 $b$ 中选出。三个方向合起来共有 $\begin{aligned} 2\times2\times2 \end{aligned}$ 种组合。
$a^{3}$ 有 1 个，$a^{2}b$ 有 3 个，$ab^{2}$ 有 3 个，$b^{3}$ 有 1 个，数量正好形成 $1,3,3,1$。
把同类体积块分类排列，就能数出 $1,3,3,1$。四组体积相加，就得到和的立方展开式。
$(a+b)^{3}$ 由三个 $a+b$ 相乘展开，再合并同类项。
$8$ 个体积块按同类分组，中间两类各有 $3$ 个，因此得到 $3a^{2}b$ 和 $3ab^{2}$。