1两个立方
从两个完整立方体出发
两个立方体的边长分别是 $a$ 和 $b$。把小立方体放在大立方体的上方角落，两个立方体的总体积是 $a^{3}+b^{3}$。
$a^{3}+b^{3}$
公式推导
立方和要把两个立方的和 $a^{3}+b^{3}$ 写成乘积形式。先根据原式等于 $0$ 时的条件寻找一次因子，再用未知系数确定剩下的二次因子。
$$a^{3}+b^{3}$$
目标是把这个立方和写成两个因子的乘积。
$$\begin{aligned} b=-a \Rightarrow a^{3}+(-a)^{3}=0 \\ b=-a \Rightarrow a+b=0 \end{aligned}$$
当 $b=-a$ 时，原式与 $a+b$ 同时为 $0$。这提示我们先尝试把 $a+b$ 作为一次因子，再用乘法展开确认。
$$a^{3}+b^{3} = (a+b)(a^{2} + kab + b^{2})$$
剩下的应是二次式。首项必须是 $a^{2}$，末项必须是 $b^{2}$，中间项的未知系数先记作 $k$。
$$\begin{aligned} (a+b)(a^{2}+kab+b^{2}) \\ = a^{3}+ka^{2}b+ab^{2}+a^{2}b+kab^{2}+b^{3} \end{aligned}$$
让 $a$ 和 $b$ 分别乘二次因子的三项，共得到六项。
$$= a^{3}+(k+1)a^{2}b+(k+1)ab^{2}+b^{3}$$
合并同类项：两类混合项的系数都变成 $k+1$。
$$\begin{aligned} k+1=0，\text{所以} k=-1 \end{aligned}$$
原式没有 $a^{2}b$ 和 $ab^{2}$。要让两类混合项消失，则系数必须为 $0$。
$$a^{3}+b^{3} = (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$$
把 $k=-1$ 代回二次因子，得到立方和的分解公式。中间的 $-ab$ 正好抵消乘回去时出现的两类混合项。
二次因子里的 $-ab$ 不是直接猜出的。它的作用是让乘回去时出现的 $a^{2}b$ 和 $ab^{2}$ 正好抵消，只留下 $a^{3}+b^{3}$。
几何解析
在几何模型中，取 $b>a>0$，这样 $a$、$b$、$b-a$ 都可以表示立体图形的边长。但是对于代数式并没有要求。
立方和可以看作一个体积重排问题。把边长为 $a$ 的小立方体放在边长为 $b$ 的大立方体上方角落，再通过切割和搬动，把两个立方体的总体积重排成一个共同高度为 $a+b$ 的新立体图形。
2切下一块
从 $b^{3}$ 中切下一块长方体
这块长方体的三条边分别是 $a$、$b$、$b-a$，所以体积是 $ab(b-a)$。切下它不是删除，而是为下一步搬动位置。
$\begin{aligned} \text{切块体积} = ab(b-a) \end{aligned}$
3搬到上方
把切下的长方体搬到剩余立体图形的上方
搬动只改变位置，不改变体积。把切下的长方体旋转后放到剩余部分较低一侧的上方，这一侧上方补出的高度是 $a$，下方原有的高度是 $b$；另一侧原本也高 $a+b$，因此重排后的新立体图形处处具有共同高度 $a+b$。此时，两部分的底面互不重叠，可以合并计算总底面积。
$\begin{aligned} \text{共同高度} = a+b \end{aligned}$
4共同高度
用共同高度和底面积写成乘积
新立体图形的底面由一个面积为 $a^{2}$ 的正方形和一个面积为 $b(b-a)$ 的长方形组成。新立体图形的体积等于共同高度乘底面积，整理底面积后就得到分解式。
$a^{3}+b^{3} = (a+b)[a^{2}+b(b-a)]$
$a^{2}+b(b-a) = a^{2}-ab+b^{2}$
$a^{3}+b^{3} = (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$
几何角度能够帮助我们看见两个因子的结构来源：$a+b$ 是重排后的共同高度，$a^{2}-ab+b^{2}$ 是重排后的底面积。
核心结论
$a^{3}+b^{3} =$
$(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$
1
代数路径
$a+b$ 是可以尝试的一次因子，二次因子中的 $-ab$ 使乘积里的两类混合项正好抵消。
2
几何路径
$a+b$ 是重排后新立体图形的共同高度，$a^{2}-ab+b^{2}$ 是新立体图形的底面积。