确定性
集合一旦给定，任意对象要么是它的元素，要么不是，不能处在含糊不定的状态。
什么是集合
什么样的整体是集合
一般地，把指定的一些研究对象作为一个整体，这个整体称为集合，简称集；其中的每一个对象称为这个集合的元素。元素可以是数，也可以是点、图形或其他确定的对象。
集合还必须有明确的判断标准：任意候选对象都能得到唯一的“属于”或“不属于”结论；像“所有较小的数”这样没有明确界限的说法，不能确定一个集合。
下面比较两条判断链，观察明确与不明确的标准分别会得到什么结果。
明确的判断标准
$1\leq x\leq 10$，且 $x$ 是偶数
候选对象 $6$
满足标准
$6\in A$
候选对象 $7$
不满足标准
$7\notin A$
因此，$A=\{2,4,6,8,10\}$。
判断标准不完整
“所有较小的数”
无法完成判断
“较小”没有给出确定界限。
候选对象 $7$
无法判断是否满足
归属不确定
仅凭这句话，无法确定一个集合。
两条判断链揭示的是判断能否完成：明确的标准能把每个候选对象唯一地分为“属于 $A$”或“不属于 $A$”；“较小”缺少明确界限，因而无法得到唯一结论。因此，集合的确定性表现在：对任意对象，它是否成为这个集合的元素，必须有明确答案。
集合的三个特征
集合由“有哪些不同的元素”决定
判断标准明确之后，还要分清元素在集合中的三个基本特征。
互异性
同一个对象即使被重复提到，也只算一个元素；重复不会增加元素的个数。
无序性
先提到哪个元素、后提到哪个元素，不改变集合包含哪些对象。
三个特征共同说明：集合只由它包含哪些互不相同的元素决定，不由对象被提到的次数或先后顺序决定。
属于与不属于
元素与集合：属于还是不属于
集合通常用大写拉丁字母 $A,B,C,\ldots$ 表示，元素通常用小写拉丁字母 $a,b,c,\ldots$ 表示。
如果 $a$ 是集合 $A$ 的元素，就说 $a$ 属于 $A$，记作 $a\in A$；如果 $a$ 不是集合 $A$ 的元素，就说 $a$ 不属于 $A$，记作 $a\notin A$。
回到集合 $A=\{2,4,6,8,10\}$，判断标准已经确定，因此可以分别判断 $6$ 和 $7$ 是否属于 $A$。
属于
$6\in A$$6$ 符合集合 $A$ 的判断标准，所以它是 $A$ 的元素。
不属于
$7\notin A$$7$ 不符合集合 $A$ 的判断标准，所以它不是 $A$ 的元素。
$\in$ 和 $\notin$ 描述的是一个对象与一个集合之间的关系。由于元素具有确定性，对同一个对象和同一个集合，这两个判断中必有且只有一个成立。
常用数集
使用固定记号时，先确认对象范围
数学中常用固定符号表示一些数集。记号很简短，但它所代表的范围不能省略。
| 名称 | 记号 | 边界说明 |
|---|---|---|
| 自然数集 | $\mathbb N$ | 其中包括 $0$。 |
| 正整数集 | $\mathbb N^*$ 或 $\mathbb N_+$ | 其中不包括 $0$。 |
| 整数集 | $\mathbb Z$ | — |
| 有理数集 | $\mathbb Q$ | — |
| 实数集 | $\mathbb R$ | — |
正实数集有时记作 $\mathbb R_+$。本文采用这一约定时，$0\notin\mathbb R_+$。使用数集记号时，要特别分清自然数集是否包含 $0$、正整数集是否包含 $0$。
元素个数
有限或无限，说的是不同元素的个数
集合中有多少个互不相同的元素，决定它是有限集还是无限集。
有限集
$A=\{2,4,6,8,10\}$集合 $A$ 有 $5$ 个互不相同的元素，所以它是有限集。
无限集
$\mathbb Z$整数集含有无穷多个元素，所以它是无限集。
元素被书写或提到多少次，不会改变集合中不同元素的个数。这是元素互异性在元素计数中的直接表现。
核心结论
先确定对象，再判断关系
一批对象能否构成明确的集合，关键在于元素的判断标准是否确定。集合一旦给定，就只需关心它包含哪些互不相同的对象；对任意对象，都可以准确判断它属于还是不属于这个集合。
判断标准确定 → 元素范围确定 → 属于关系可以准确判断。