交集的基本关系
- 交换关系$A\cap B=B\cap A$
- 包含关系$A\cap B\subseteq A$，$A\cap B\subseteq B$
- 幂等关系$A\cap A=A$
- 空集关系$A\cap\varnothing=\varnothing$
基本关系
基本关系：归属条件没有改变
先从交集与并集的基本关系开始。交换条件次序、重复同一条件，或者引入没有元素的空集，都不会改变元素最终是否进入结果集合。
并集的基本关系
- 交换关系$A\cup B=B\cup A$
- 包含关系$A\subseteq A\cup B$，$B\subseteq A\cup B$
- 幂等关系$A\cup A=A$
- 空集关系$A\cup\varnothing=A$
一个元素同时属于 $A,B$ 时，交换两个条件的次序仍然同时成立，所以交集可交换；“至少属于一个”也不受次序影响，所以并集可交换。交集中的元素分别属于 $A,B$，并集则保留两边原有的元素。重复同一条件不改变结果；空集没有元素，因此与空集取交得到空集，取并仍得到原集合。
补集关系
补集关系：排除与保留互相对应
接下来固定全集 $U$，并设 $A\subseteq U$。补集关系来自同一件事：对任意 $x\in U$，“属于 $A$”与“不属于 $A$”恰好互相排除。
覆盖全集
$A\cup(\complement_U A)=U$
$x$ 要么属于 $A$，要么不属于 $A$，两种情况合起来覆盖全集。
没有公共元素
$A\cap(\complement_U A)=\varnothing$
“属于 $A$”与“不属于 $A$”不能同时成立，所以两者的交集是空集。
再次取补集
$\complement_U(\complement_U A)=A$
把“不属于 $A$”再否定一次，最后留下的正是集合 $A$。
进一步运算律
进一步的运算律：重组条件而不改变真假
在基本关系之上，还可以重组多个归属条件。结合律和分配律适用于任意集合 $A,B,C$；德摩根律要求 $A,B\subseteq U$，并且所有补集都相对于同一全集 $U$。
结合律
$(A\cap B)\cap C$$=$$A\cap(B\cap C)$
$(A\cup B)\cup C$$=$$A\cup(B\cup C)$
只改变判断的先后分组，不改变“三个条件同时成立”或“至少一个条件成立”。
分配律
$A\cap(B\cup C)$$=$$(A\cap B)\cup(A\cap C)$
$A\cup(B\cap C)$$=$$(A\cup B)\cap(A\cup C)$
把“一个条件与两个条件之一同时成立”重新分组，归属条件的真假不变。
德摩根律
$\complement_U(A\cap B)$$=$$(\complement_U A)\cup(\complement_U B)$
$\complement_U(A\cup B)$$=$$(\complement_U A)\cap(\complement_U B)$
不同时属于两集合，等价于至少不属于其中一个；不属于两集合的并集，等价于两个集合都不属于。
元素归属法
元素归属法：把等式化成等价条件
要验证集合恒等式，不是比较两边的图形，而是比较任意元素在两边的归属条件。验证过程始终沿着同一条路径进行。
-
任取元素
从等式的一边出发，追踪一个任意元素 $x$ 是否属于这个集合。
-
还原归属条件
把交、并、补分别改写成“且”“或”“不”，再进行等价改写。
-
判断条件等价
把条件还原为等式另一边；若对任意元素都等价，两个集合就相等。
验证第一条分配律
任取元素 $x$，从 $A\cap(B\cup C)$ 开始。下面每一步都只改变条件的写法，并说明为什么改变前后等价。
$x\in A\cap(B\cup C)$
任取 $x$ 并从等式左边出发，先保留原来的集合表达式。
$x\in A$，且（$x\in B$ 或 $x\in C$）
使用交集、并集的定义：外层交集改写成“且”，内层并集改写成“或”。
（$x\in A$ 且 $x\in B$），或（$x\in A$ 且 $x\in C$）
把共同条件“$x\in A$”分别写入两种可能，只重组“且”与“或”，条件的真假不变。
$x\in(A\cap B)\cup(A\cap C)$
两个“且”分别还原为交集，连接它们的“或”还原为并集，得到等式右边。
任意元素属于 $A\cap(B\cup C)$ 当且仅当属于 $(A\cap B)\cup(A\cap C)$，因此两个集合相等。
验证第一条德摩根律
这一次先固定全集 $U$，并在 $U$ 中任取元素 $x$。从 $\complement_U(A\cap B)$ 出发，把“取补集”逐步还原为不属于条件。
$x\in\complement_U(A\cap B)$
在固定全集 $U$ 中任取 $x$，从等式左边开始追踪归属。
$x\notin A\cap B$
按照补集的定义，属于 $\complement_U(A\cap B)$ 就是在 $U$ 中不属于 $A\cap B$。
$x\notin A$，或$x\notin B$
否定“同时属于 $A$ 和 $B$”，等价于至少有一个归属条件不成立。
$x\in(\complement_U A)\cup(\complement_U B)$
“不属于 $A$”与“不属于 $B$”分别还原为两个补集，“或”还原为并集，得到等式右边。
每一步都是等价改写，所以任意元素属于左边当且仅当属于右边。这一次验证同时完成了两个包含方向的检查。
用 Venn 图检查相同区域
上面的元素归属法已经完成一般验证。现在保持各集合的位置不变，只比较恒等式左右两边选中的区域，看看两种写法是否指向同一批位置。
青绿色区域表示当前集合表达式选中的元素范围。
第一条分配律
左边先取 $B\cup C$ 再与 $A$ 取交；右边分别取 $A\cap B$、$A\cap C$ 再合并。
左边：先并后交
$A\cap(B\cup C)$
右边：分别取交再合并
$(A\cap B)\cup(A\cap C)$
第一条德摩根律
两图都固定同一个全集 $U$。左边排除 $A\cap B$；右边合并“不属于 $A$”与“不属于 $B$”的区域。
左边：排除交集
$\complement_U(A\cap B)$
右边：合并两个补集
$(\complement_U A)\cup(\complement_U B)$
核心结论
核心理解：集合相等要落到同一批元素
基本关系、补集关系、结合律、分配律和德摩根律，最终都可以落到元素归属条件上理解。
Venn 图和具体集合可以帮助观察、检查，却不能代替一般验证。只有对任意元素，等式两边的归属条件始终等价，集合恒等式才成立。
任取元素 → 还原“且、或、不” → 判断条件等价 → 得到集合相等。