条件 $p$
表示推理从什么情形出发。
什么是命题
命题：能够判断真假的陈述
辨认命题，先检查整句话能不能得到确定的“真”或“假”，而不是先看它写了多少数学符号。
一般地，用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句称为命题。判断为真的命题称为真命题，判断为假的命题称为假命题。
“$2$ 是偶数”能够判断为真，“$3<1$”能够判断为假。真假虽然不同，但两句话都能得到确定判断，所以都是命题。
疑问句、祈使句不是在作出可以判断真假的陈述。“$x>1$”虽然含有数学式子，却没有指定 $x$ 的值，也没有对一个明确范围内的对象作出完整判断，因此还不是命题。
只有补全缺少的值或对象范围，使整句话能够确定真假，原来的式子才成为命题。辨认命题的关键始终是“能否确定真假”。
条件与结论
条件与结论：读清“若 $p$，则 $q$”
命题写成标准形式以后，先确认推理从哪里出发，再确认它要得到什么结果。
结论 $q$
表示条件成立时应当得到什么结果。
判断条件与结论不能只看一句话的先后位置，而要看推理方向。把命题改写为“若 $p$，则 $q$”后，箭头从 $p$ 指向 $q$：
$$p\Rightarrow q.$$
这个式子读作“由 $p$ 可以推出 $q$”。箭头从条件指向结论，表示只要条件 $p$ 成立，结论 $q$ 就一定成立。
真命题
真命题：条件成立时结论不能失败
要说明一个“若 $p$，则 $q$”是真命题，需要证明任意满足条件 $p$ 的对象都必然满足结论 $q$。
对于任意整数 $n$，考虑命题：“若 $n$ 是 $4$ 的倍数，则 $n$ 是 $2$ 的倍数。”下面从条件出发，说明结论对每一个满足条件的整数都成立。
把原命题的条件和结论分别记作 $p$ 与 $q$：
$$
\begin{aligned}
p&:\ n\text{ 是 }4\text{ 的倍数},\\
q&:\ n\text{ 是 }2\text{ 的倍数}.
\end{aligned}
$$
第一行写出推理的出发条件，第二行写出要得到的结论。接下来只需从 $p$ 出发，说明为什么 $q$ 必然成立。
如果 $p$ 成立，就存在整数 $k$，使 $n=4k$。因为 $4=2\times2$，可以把 $4k$ 改写成含有因数 $2$ 的形式：
$$n=4k=2(2k).$$
式中的 $n=4k$ 把条件写成了代数形式，$4k=2(2k)$ 则把因数 $2$ 明确地提了出来。因为 $2k$ 仍是整数，所以 $n$ 是 $2$ 的倍数，结论 $q$ 必然成立。因此原命题是真命题，可以记作 $p\Rightarrow q$。
逆命题与反例
逆命题：交换条件与结论后重新判断
把原命题 $p\Rightarrow q$ 的条件和结论交换，得到 $q\Rightarrow p$，称为原命题的逆命题。原命题与逆命题是两个命题，真假必须分别判断。
上面的原命题是“若 $n$ 是 $4$ 的倍数，则 $n$ 是 $2$ 的倍数”，它的逆命题是“若 $n$ 是 $2$ 的倍数，则 $n$ 是 $4$ 的倍数”。取 $n=2$，可以得到下面两个判断：
逆命题的条件
“$2$ 是 $2$ 的倍数”成立。
条件为真
逆命题的结论
“$2$ 是 $4$ 的倍数”不成立。
结论为假
因此，$n=2$ 使逆命题的条件成立、结论不成立，是一个有效反例。只要找到这样一个对象，就足以否定这个逆命题。
原命题 $p\Rightarrow q$ 为真，不能推出它的逆命题 $q\Rightarrow p$ 也为真。交换条件与结论后，得到的是另一个命题，必须重新判断真假。
核心结论
核心理解：命题先判真假，推出再看方向
命题首先必须是能够确定真假的陈述。对于“若 $p$，则 $q$”，$p$ 是出发条件，$q$ 是目标结论；只有在 $p$ 成立时 $q$ 必然成立，才能写出 $p\Rightarrow q$。
交换条件和结论得到 $q\Rightarrow p$，称为原命题的逆命题。原命题与逆命题是两个命题，真假必须分别判断；否定一个命题，只需找到一个条件真而结论假的反例。
先确认能够判断真假 → 再辨认条件与结论 → 沿箭头方向证明或寻找反例。