对象范围
$x\in M$ 确定哪些对象可以被检查，也给命题划定判断边界。
对象范围
先确定对象范围与性质
量词说明要检查多少个对象，但在此之前，必须先知道对象从哪里取、要检查什么性质。
$$M:\text{对象范围},\qquad x\in M,\qquad p(x):\text{关于 }x\text{ 的性质}.$$
只写 $p(x)$ 时，性质的真假可能随 $x$ 改变。加入量词以后，句子才进一步说明：这个性质要对范围内的全部对象成立，还是只需对其中至少一个对象成立。
量词
“每一个”或“至少一个”规定性质需要对多少个对象成立。
性质
$p(x)$ 说明对每个被取到的对象，具体要判断什么。
对象范围本身就是命题的一部分。若不说明 $x$ 在哪个集合中取值，“所有”或“存在”就没有确定边界，命题的真假也无法确定。
全称量词
全称量词：要求每一个对象都成立
“所有”“任意”“每一个”“一切”表达的是对指定范围内全部对象的要求。
这些表示整体或全部的词称为全称量词，通常用符号 $\forall$ 表示。“对 $M$ 中任意一个 $x$，$p(x)$ 成立”写成
$$\forall x\in M,\ p(x).$$
这称为全称量词命题。
读这个命题时，三个部分各自承担不同作用。
范围 $x\in M$
确定哪些对象必须接受检查。
检查边界
量词 $\forall$
要求范围内每一个对象都不能遗漏。
全部对象
性质 $p(x)$
规定每一个对象都必须满足的具体条件。
共同要求
全称量词命题要成为真命题，$M$ 中每一个对象都必须满足 $p(x)$；只要范围内有一个对象不满足，这个“全部成立”的要求就失败。
存在量词
存在量词：至少有一个对象成立
“存在一个”“至少有一个”“有些”把要求从“全部”改成了“能够找到一个”。
这些表示范围内存在某个对象的词称为存在量词，通常用符号 $\exists$ 表示。“存在 $M$ 中的一个 $x$，使 $p(x)$ 成立”写成
$$\exists x\in M,\ p(x).$$
这称为存在量词命题。
范围和性质没有少，改变的是需要找到的对象数量。
范围 $x\in M$
限定可以从哪些对象中寻找。
寻找边界
量词 $\exists$
只要求范围内至少能找到一个对象。
至少一个
性质 $p(x)$
规定被找到的对象必须满足什么条件。
寻找目标
存在量词命题要成为真命题，只需在 $M$ 中找到至少一个满足 $p(x)$ 的对象；要判定它为假，则范围内不能有任何对象满足这个性质。
量词改变
同一性质：量词改变，命题也改变
把对象范围固定为整数，把性质固定为 $p(x):x^2=4$。下面两句话只有量词不同。
要求每一个整数成立
$\forall x\in\mathbb Z,\ x^2=4$范围是整数，量词 $\forall$ 要求每一个整数都满足 $x^2=4$。整数 $0$ 不满足 $0^2=4$，所以命题为假。
只要求找到一个整数
$\exists x\in\mathbb Z,\ x^2=4$范围仍是整数，量词 $\exists$ 只要求一个整数满足同一性质。整数 $2$ 满足 $2^2=4$，所以命题为真。
两句话的对象范围都是 $\mathbb Z$，性质都是 $x^2=4$；全称量词要求所有整数都通过，存在量词只要求至少一个整数通过。因此，只改变量词，就可能改变命题的真假。
范围改变
对象范围改变，真假可能改变
这一次固定存在量词和性质 $x^2=2$，只改变允许寻找对象的范围。
在整数中寻找
$\exists x\in\mathbb Z,\ x^2=2$量词 $\exists$ 要在整数范围内找到一个满足 $x^2=2$ 的对象。若 $|x|\leq1$，则 $x^2\leq1$；若 $|x|\geq2$，则 $x^2\geq4$。整数的平方不可能等于 $2$，所以命题为假。
在实数中寻找
$\exists x\in\mathbb R,\ x^2=2$量词仍是 $\exists$，性质仍是 $x^2=2$，但范围改为实数。因为 $\sqrt2\in\mathbb R$ 且 $(\sqrt2)^2=2$，所以命题为真。
量词没有改变，性质也没有改变，但对象范围不同，允许寻找的对象随之不同。命题“存在 $x$，使 $x^2=2$”只有在给定对象范围后，才有确定的真假。
核心结论
核心理解：量词规定要检查多少对象
全称量词要求指定范围内每一个对象都满足性质，存在量词只要求其中至少一个对象满足性质。
对象范围、量词和性质共同组成含量词命题：范围决定检查谁，量词决定检查多少对象，性质决定检查什么。
先锁定对象范围 → 再看“全部”还是“至少一个” → 最后检查性质 $p(x)$。