寻找全称命题的反例
给出一个不满足性质的对象，就击破了“每一个都成立”，因此足以否定全称命题。
否定全称命题
否定全称命题：找到一个例外
先读清原命题的要求：在同一对象范围 $M$ 内，每一个对象都必须满足性质 $p(x)$。
$$\forall x\in M,\ p(x).$$
这句话中，$x\in M$ 固定检查范围，$\forall$ 要求范围内每一个对象都通过，$p(x)$ 是每个对象要满足的性质。要使“每一个都满足”失败，不需要所有对象都不满足；只要在 $M$ 中找到一个不满足 $p(x)$ 的对象即可。
$$\neg(\forall x\in M,\ p(x))\iff \exists x\in M,\ \neg p(x).$$
从原命题到它的否定，逐项看清三个部分的变化。
对象范围 $M$
仍在原来的 $M$ 中检查对象，没有更换范围。
范围不变
$\forall$ 变为 $\exists$
原来的全部要求，被一个例外击破。
量词互换
$p(x)$ 变为 $\neg p(x)$
要找的是不满足原性质的对象。
性质否定
“并非所有对象都具有某性质”表示“至少有一个对象不具有该性质”，并不表示“所有对象都不具有该性质”。
否定存在命题
否定存在命题：一个也找不到
存在量词命题声称：在对象范围 $M$ 中，至少能找到一个满足 $p(x)$ 的对象。
$$\exists x\in M,\ p(x).$$
这里 $x\in M$ 限定寻找范围，$\exists$ 只要求至少一个对象，$p(x)$ 规定寻找目标。要使“至少有一个满足”失败，就必须让 $M$ 中每一个对象都不满足 $p(x)$。
$$\neg(\exists x\in M,\ p(x))\iff \forall x\in M,\ \neg p(x).$$
否定后的对象范围不变，但寻找要求和对象性质同时反转。
对象范围 $M$
仍然只讨论原来范围内的对象。
范围不变
$\exists$ 变为 $\forall$
要说明一个也找不到，必须检查每一个对象。
量词互换
$p(x)$ 变为 $\neg p(x)$
每一个对象都必须不满足原性质。
性质否定
换成自然语言，“不存在满足该性质的对象”就是“每一个对象都不满足该性质”。只有量词和性质一起改变，才准确表达原存在命题的失败。
两处同时改变
为什么量词和性质必须同时改变
只改量词或只改性质，得到的都是另一条命题，不能完整表达原命题怎样失败。
保留 $\forall$，只否定 $p(x)$
得到“每一个对象都不满足”，比“不是每一个都满足”更强。
不是原否定
只把 $\forall$ 改为 $\exists$
得到“至少有一个对象满足原性质”，仍在断言原性质成立。
没有否定性质
只把 $\exists$ 改为 $\forall$
得到“每一个对象都满足原性质”，没有表达一个也找不到。
没有否定性质
保留 $\exists$，只否定 $p(x)$
得到“至少有一个对象不满足”，不等于“没有任何对象满足”。
不是原否定
正确的否定始终保留原对象范围，同时完成两处改变：全称量词与存在量词互换，性质 $p(x)$ 变为 $\neg p(x)$。
同一性质的否定
用同一个性质看清两种否定
在实数范围内固定 $p(x):x\leq1$。性质 $p(x)$ 的否定是 $x>1$；对象范围始终是实数。
全称命题的否定：一个反例成为存在对象
$$\forall x\in\mathbb R,\ x\leq1.$$
范围是实数，量词 $\forall$ 要求每一个实数都满足 $x\leq1$。取 $x=2$，有 $2\leq1$ 不成立，所以原命题为假。
$$\exists x\in\mathbb R,\ x>1.$$
否定后的范围仍是实数，量词变为 $\exists$，性质变为 $x>1$。同一个 $x=2$ 正是满足否定命题的对象。
存在命题的否定：必须让每个对象都不满足
$$\exists x\in\mathbb R,\ x\leq1.$$
范围是实数，量词 $\exists$ 只要求找到一个满足 $x\leq1$ 的对象。取 $x=0$ 就能证明原命题为真。
$$\forall x\in\mathbb R,\ x>1.$$
否定后的范围仍是实数，量词变为 $\forall$，性质变为 $x>1$。而 $x=0$ 又是这个全称命题的反例，所以否定命题为假。
反例与存在对象
反例与存在对象承担不同任务
两种判断有时都只给出一个对象，但这个对象是在击破“全部”，还是在完成“至少一个”，必须分清。
寻找存在命题所需的对象
给出一个满足性质的对象，就完成了“至少有一个成立”，因此足以证明存在命题。
两项任务虽然都可能只需给出一个对象，针对的原命题和判断目的却不同：反例使全称要求失败，满足条件的对象使存在要求成立。
核心结论
核心理解：范围不变，要求反转
写含量词命题的否定时，先固定对象范围，再把全称量词与存在量词互换，同时否定性质 $p(x)$。
全部成立的失败来自一个例外，至少一个成立的失败来自全部都不成立。量词和性质一起改变，正是这两种失败方式的准确表达。
对象范围不变 → 量词互换 → 性质同时否定。