从实数范围写成区间
先确认范围：找出左、右边界，并确认这是一段连续的实数范围。
再检查有限端点：不等号允许等于时用方括号，严格不等号对应圆括号。
最后检查无穷端：出现无穷方向时，无穷端只能写圆括号。
有限区间
有限区间：括号记录端点是否取到
有限区间有左、右两个端点。每一端使用什么括号，只取决于这个端点是否属于当前集合。
设 $a,b\in\mathbb R$，且 $a<b$。以 $a,b$ 为端点的连续实数范围，可以写成下面四种有限区间。
| 实数范围 | 区间表示 | 端点情况 |
|---|---|---|
| $a\leq x\leq b$ | $[a,b]$ | 两端都取到 |
| $a<x<b$ | $(a,b)$ | 两端都不取到 |
| $a\leq x<b$ | $[a,b)$ | 取到左端，不取到右端 |
| $a<x\leq b$ | $(a,b]$ | 不取到左端，取到右端 |
方括号靠近某个有限端点，表示这个端点属于区间；圆括号靠近某个有限端点，表示这个端点不属于区间。因此，$[a,b]$ 称为闭区间，$(a,b)$ 称为开区间，$[a,b)$ 与 $(a,b]$ 称为半开半闭区间；$a,b$ 都称为区间的端点。
不等式与数轴
三种表示：不等式、区间与数轴说同一范围
先从不等式读出实数范围，再把两个端点的归属分别对应到括号和数轴端点。
例如，集合
$$S=\{x\in\mathbb R\mid -2\leq x<3\}.$$
也可以写成 $S=[-2,3)$。左边的方括号表示 $-2\in S$，右边的圆括号表示 $3\notin S$；$-2$ 与 $3$ 之间的所有实数都属于 $S$。
观察数轴上的两个端点：$-2$ 处是实心点，并写明“属于 $S$”；$3$ 处是空心点，并写明“不属于 $S$”。两个端点之间的线段表示区间内的全部实数。
无穷区间
无穷区间：无穷端只能用圆括号
当实数范围向一侧无限延伸时，仍要判断有限端点是否取到；表示无穷方向的一端则始终使用圆括号。
| 实数范围 | 区间表示 |
|---|---|
| $x\geq a$ | $[a,+\infty)$ |
| $x>a$ | $(a,+\infty)$ |
| $x\leq b$ | $(-\infty,b]$ |
| $x<b$ | $(-\infty,b)$ |
$+\infty$ 与 $-\infty$ 表示无限延伸的方向，不是实数，也不是区间中可以“取到”的端点。因此，无穷端一律使用圆括号，不能写成 $[a,+\infty]$ 或 $[-\infty,b]$。
全体实数组成的集合可以表示为
$$\mathbb R=(-\infty,+\infty).$$
式子两端都用圆括号，正是因为 $\pm\infty$ 都不属于实数集。
转换顺序
判断顺序：先读范围，再定括号
无论从哪一种表示出发，都要分别检查左右边界，并保证转换前后包含完全相同的实数。
从区间读回实数范围
分别读取两端：方括号对应“可以等于”，圆括号对应“不能等于”。
识别无穷方向：无穷端只表示范围向该方向延伸，不表示能够取到无穷。
核对最终范围：得到的不等式应当与原区间包含完全相同的实数。
核心结论
核心理解：括号是在回答端点归属
有限端点能否取到，决定使用方括号还是圆括号；无穷不是实数，永远不能作为被取到的端点。
把每个括号还原成端点的属于或不属于关系，就能在不等式、区间与数轴之间准确转换。
有限端点看归属 → 无穷端用圆括号 → 三种表示保持同一实数范围。