等式性质与等价变形

等号表示两边的值相同

等式 $A=B$ 表示两边的值相同。这里 $A,B$ 可以是数，也可以是在当前取值下有意义的式子。例如，$2(x+1)=2x+2$ 对每个实数 $x$ 都成立，是实数范围内的恒等式；方程 $2x+1=5$ 则只有在 $x=2$ 时成立。

无论属于哪种情形，只要当前有 $A=B$，就可以研究相等关系本身的性质。

首先，交换两边的位置，仍然相等：

这叫相等关系的对称性。它只是把同一个关系换一个方向写出来。

其次，若两个量都等于同一个量，它们就相等：

这叫传递性。例如 $A=2t$、$B=2t$，就能通过共同的量 $2t$ 得到 $A=B$。后面连接几个大小关系时，也会用到类似的思路。

两边同加、同减，相等关系保留

从 $A=B$ 出发，两边都加上同一个数 $C$，得到

因为两边原来的值相同，增加的量也相同，所以结果仍相同。两边同减 $C$ 的理由一样：

这里也可以用第一篇的作差来核对。同加后的两边相减，新增的 $C$ 抵消：

差仍为零，就说明相等关系保留了。上述讨论要求 $A,B,C$ 在当前取值下都有意义。

两边同乘可以乘零，同除不能除以零

若 $A=B$，两边同乘一个有意义的数 $C$，得到

理由是两边的差为 $AC-BC=(A-B)C=0$。这条“相等仍相等”的性质允许 $C=0$：两边都变成 $0$，确实仍然相等。

两边同除则不同。除法只有在除数非零时才有意义，所以必须先有 $C\ne0$，才能由 $A=B$ 得到

同除以 $C$ 相当于同乘 $\frac1C$，因此它沿用同乘的性质，同时增加了除数不能为零的要求。

例如 $2x+3=7$ 两边同减 $3$，得到 $2x=4$；再同除以非零数 $2$，得到 $x=2$。这正是等式性质在解方程中的使用。

保持相等，还不一定保持原来的解

“若原等式成立，运算后仍成立”，说明在运算有意义的前提下，原方程的解仍满足新等式；解方程还要检查新等式有没有多出别的解。

例如把方程 $x=2$ 两边同乘 $0$，会得到 $0=0$。原来只有 $x=2$ 能使方程成立，现在任意实数都使 $0=0$ 成立。乘零没有破坏相等关系，却抹去了原方程对 $x$ 的限制。

因此，比较两个方程时，先约定相同的未知数取值范围；在这个范围内，若它们的解集相同，才称为等价。前面的解方程过程可以写成

第一步同减 $3$，可以用同加 $3$ 还原；第二步同除以 $2$，可以用同乘 $2$ 还原。每一步在实数范围内都能往返，没有增加或遗漏解。

这些条件提供了保证等价的常用办法。某一步不能用逆运算直接还原，并不能据此断定两个方程一定不等价，最终仍以约定范围内解集是否相同为准。分式方程、根式方程的具体求解与验根，沿用衔接第五章已经讲过的方法。

从等式性质走向不等式性质

等式性质可以分成两类：对称性、传递性描述相等关系本身；同加、同减、同乘和非零时同除，描述相等关系在运算后怎样保留。

接下来把 $A=B$ 换成 $A>B$，就有了需要继续研究的问题：交换两边时怎样写不等号？同加后是否仍有 $A+C>B+C$？同乘后是否仍有 $AC>BC$？