大小关系与差的正负

比较两个式子，先看它们相差多少

例如，比较 $(x+2)(x+3)$ 与 $(x+1)(x+4)$，其中 $x$ 是任意实数。两个式子都随 $x$ 改变，逐个代入数值只能看到个别情况。先把前一个式子减去后一个：

为了看清差的正负，先用分配律展开两个乘积：

减去第二个括号时，括号内每一项都要变号。再合并同类项，含 $x$ 的项恰好抵消：

差始终为 $2$，说明前一个式子的值总比后一个大 $2$。所以，无论 $x$ 取什么实数，都有

这里不需要分别算出两个式子的值。只要算清它们的差，就能判断大小。

差的正负为什么能记录大小关系

设 $a,b$ 是两个实数。若 $a>b$，从较大的数 $a$ 中减去较小的数 $b$，差为正；若两数相等，差为零；若 $a<b$，差为负。反过来也成立，因此

这里的 $\iff$ 表示两个方向都成立。例如，知道 $a>b$ 就知道 $a-b>0$；知道 $a-b>0$，也能确定 $a>b$。

在数轴上，这件事可以这样理解：把表示 $a,b$ 的两个点同时向同一方向移动相同距离，使 $b$ 移到 $0$。此时 $a$ 移到 $a-b$，两个点的左右顺序没有改变。于是，原来 $a$ 在 $b$ 的右边，就变成了 $a-b$ 在 $0$ 的右边。

这也说明了为什么要注意减法顺序。$2-5=-3<0$ 判断的是 $2<5$；$5-2=3>0$ 判断的是 $5>2$。先明确“谁减谁”，才能把差的符号翻译成正确的大小关系。

差中还含有字母，结论就要带上取值范围

并不是每次作差都能得到固定的正数或负数。例如，比较 $x^2+x$ 与 $x^2+3$，其中 $x\in\mathbb R$。两式相减，同类项抵消后得到

这次差的正负取决于 $x$ 与 $3$ 的关系，因此需要分清三种情况：

若只知道差非负，就只能断定前一个数不小于后一个数。符号 $\ge$ 表示“大于或等于”，所以

同理，$\le$ 表示“小于或等于”，对应

例如，一项支出 $m$ 元“不超过 $100$ 元”，表示 $m\le100$，允许恰好花费 $100$ 元；“少于 $100$ 元”才表示 $m<100$。不等号是否带等号，取决于原来的数量要求。

作差以后，还要完成符号判断

用作差比较大小，可以按这个顺序进行：先确认两个式子在所讨论的范围内都有意义；用前一个减后一个；通过展开、合并同类项或因式分解，把差化成容易判断符号的形式；最后根据正、零、负写出结论，保留必要的取值范围和等号情形。