不等式性质与合法变形

同加、同减为什么不改变方向

先看熟悉的 $5>2$。两边同加 $3$，得到 $8>5$；两边的差始终为 $3$。对一般的 $a>b$，第一篇已经说明 $a-b>0$。同加 $c$ 后，两边的差为

新增的 $c$ 抵消，差没有改变，所以 $a+c>b+c$。同减 $c$ 也一样，因为 $-c$ 在作差时同样抵消。两种操作互相还原，因此

移项就是这个性质的使用。例如 $x+3>7$ 两边同减 $3$，得到 $x>4$；从 $x>4$ 同加 $3$，又能回到原不等式，所以两者的解相同。

同乘、同除为什么要先看正负

同乘一个数后，差不再保持原值，而是也乘上了这个数：

已知 $a-b>0$。如果 $c>0$，右边是正数乘正数，仍为正，所以

如果 $c<0$，右边变成负数，新式左边反而小于右边，所以

这两个关系可以反向使用，因为同除以非零的 $c$ 能还原原式。例如 $5>2$ 两边同乘 $-1$，得到 $-5<-2$，不等号方向必须反转。

同除以 $c$ 就是同乘 $\frac{1}{c}$。当 $c\ne0$ 时，$\frac{1}{c}$ 与 $c$ 同号，所以同除正数方向不变，同除负数方向反转。若 $c=0$，同乘后两边都变成零，不能保留原来的严格大小关系；同除则没有意义。

两个大小关系怎样接起来

$a>b$ 与 $b<a$ 表示同一件事。交换两边时，也要把不等号换一个朝向。

若 $a>b$ 且 $b>c$，则 $a>c$，这就是传递性。用作差可以说明原因：

等号把 $a$ 与 $c$ 的差拆成两个已知的正差；正数相加仍为正，所以结论成立。

若 $a>b$ 且 $c>d$，两式方向相同，可以分别相加。新差为

右边仍是两个正差之和，因此得到 $a+c>b+d$。这里不要求四个数都为正，只要求两个原不等式同向且成立。

不过，这个结论不能反过来拆。例如 $5+1>2+3$ 成立，却不能推出 $1>3$。只知道总和较大，不代表每一部分都较大。

比较两个乘积，符号条件不能省

同向相加能够直接使用正差之和，但同向相乘还要检查各因子的符号。若 $a>b>0$ 且 $c>d>0$，先把 $a>b$ 同乘正数 $c$，得到 $ac>bc$；再把 $c>d$ 同乘正数 $b$，得到 $bc>bd$。用传递性连接起来，就是

所以 $ac>bd$。全正条件保证了这两次乘法都不改变方向。

如果缺少合适的符号条件，就不能照搬。例如 $-1>-2$、$-3>-4$ 都成立，但对应相乘后是 $3<8$。

另一种可以确定的情形是 $a>b>0$ 且 $c<d<0$。把 $a>b$ 同乘负数 $c$，得到 $ac<bc$；把 $c<d$ 同乘正数 $b$，得到 $bc<bd$。因此

从而 $ac<bd$。不必把每一种符号组合背成新口诀，回到“每次乘的是正数还是负数”，就能判断每一步的方向。

乘积的大小也不能反推各因子的大小。例如 $1\times3>2\times1$，但 $1>2$ 不成立。前面的条件足以推出乘积关系，并不表示只有满足那些条件才可能得到同样的结果。

正数同次乘方、同次开方，大小方向不变

设 $a>b>0$。先看平方：把 $a>b$ 分别同乘正数 $a$ 和 $b$，得到 $a^2>ab$ 与 $ab>b^2$，所以

更一般地，设整数 $n\ge2$。从 $b^n$ 出发，每次把一个因子 $b$ 换成较大的 $a$，其余因子都为正，乘积就会严格增大：

这一过程共有 $n$ 次替换，每次都依据“同乘正数方向不变”。于是，$a>b>0$ 时有 $a^n>b^n$。

同次开方也保持正数之间的大小。设 $u=\sqrt[n]{a}$、$v=\sqrt[n]{b}$，其中 $a>b>0$、整数 $n\ge2$。根据 $n$ 次方根的意义，$u,v$ 都为正，并且 $u^n=a$、$v^n=b$。

如果 $u=v$，就会有 $a=b$；如果 $u<v$，刚证明的正数乘方性质又会给出 $a=u^n<v^n=b$。两种情况都与 $a>b$ 矛盾，因此只能是

这里借用了已经学过的 $n$ 次方根的定义，补充的是它如何保留大小关系。正数条件不能随意删去：例如 $-1>-2$，平方后却有 $1<4$；偶数次根号也不能直接作用于负数。

判断一种运算能不能用，先看它依赖什么

前面的严格不等式可以作适当的非严格推广。例如把正差换成非负差，同加一个数仍保持 $\ge$，同乘正数仍保持 $\ge$，同乘负数则把 $\ge$ 变成 $\le$。两个非负差之和仍非负，因此同向相加也有对应的非严格结论。带等号时，每一步仍要保留原来的符号条件。

使用这些性质时，先确认已知关系和取值范围，再选择运算：加减同一个数看差是否保留；乘除看乘除式的正负与是否为零；合并两个不等式则分别检查原条件，不能从一个合并后的结论反拆出全部原条件。