读图方法
把不等式看成图象的位置
移项、合并同类项后，把不等式写成 $Q(x)>0$、$Q(x)<0$ 或带等号的形式，其中 $Q(x)=ax^2+bx+c$，$a,b,c\in\mathbb R$，$a\ne0$。
看函数 $y=Q(x)$ 的图象：大于零看横轴上方，小于零看横轴下方；带等号，还要包括横轴上的点。解集就是这些部分对应的全部横坐标。
先用 $\Delta=b^2-4ac$ 判断交点个数，再看 $a$ 的正负确定开口。以下简图展示三种交点情况，重点看图象与横轴的相对位置。
整理后若二次项消去，就不再是一元二次不等式。含分母、根号时，还须保留原式的定义范围和变形条件。
两个交点
两根之间，还是两根外侧
$\Delta>0$ 时有两个实根 $x_1<x_2$。由求根公式，两根相加时根号项抵消，得到 $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$；两根相乘用平方差，得到 $x_1x_2=\frac{b^2-\Delta}{4a^2}=\frac{c}{a}$。
展开两因子的乘积，再代入根的和与积：
两边同乘 $a$，便还原为原二次式：
两根外侧，两个因子同号，乘积为正；两根之间，两个因子异号，乘积为负。$a>0$ 时保留符号，$a<0$ 时反转，图象正好呈现这种变化。
$a>0$ · 开口向上
两根之间 $Q(x)<0$。
$a<0$ · 开口向下
两根外侧 $Q(x)<0$。
“之间”写成 $(x_1,x_2)$，“外侧”写成 $(-\infty,x_1)\cup(x_2,+\infty)$。严格不等式不取根；带等号时，把对应根处的圆括号改成方括号。
一个切点
碰到横轴，但不穿过
$\Delta=0$ 时只有一个不同的实根 $x_0=-\frac{b}{2a}$。配方后的常数项 $-\frac{\Delta}{4a}$ 为零，因此
平方只在 $x=x_0$ 时为零，其余位置为正。因此图象接触横轴，却不穿过它。
$a>0$ · 开口向上
没有负值。
$a<0$ · 开口向下
没有正值。
例如，开口向上时：$Q(x)>0$ 的解集是 $\mathbb R\setminus\{x_0\}$；$Q(x)\ge0$ 是 $\mathbb R$；$Q(x)<0$ 是 $\varnothing$；$Q(x)\le0$ 只取 $\{x_0\}$。开口向下时，正负方向对调。
没有交点
始终在横轴同一侧
$\Delta<0$ 时没有实根。由配方结果提出 $a$：
括号内是非负的平方加上正数，所以始终为正。$Q(x)$ 的符号就始终与 $a$ 相同。
$a>0$ · 开口向上
对所有实数 $x$，$Q(x)>0$。
$a<0$ · 开口向下
对所有实数 $x$，$Q(x)<0$。
所求正负与图象一致，解集就是 $\mathbb R$；相反则是 $\varnothing$。没有零点，所以加不加等号，解集都不变。
例题
把图象对应到解集
解 $-x^2+3x\ge2$。两边同减 $2$，得到 $-x^2+3x-2\ge0$；左边因式分解为
零点是 $1$、$2$，开口向下。取横轴上方的部分，又因为带等号，还要包括两个零点：
$y=-x^2+3x-2$
所以解集是 $[1,2]$。解题时只需理清：与零比较 → 找交点、看开口 → 取对应的横坐标 → 检查端点。