实际问题中的一元二次不等式

变量先带着现实范围

某旅店有 $20$ 间客房，每间客房的日租金为 $80$ 元。日租金只按 $10$ 元的整数倍上调，若每提高 $10$ 元，就少租出 $1$ 间。旅店希望每日客房租金总收入不低于 $1800$ 元，同时规定每间客房的日租金不超过 $130$ 元。

设日租金提高了 $x$ 个 $10$ 元。由于只按 $10$ 元的整数倍上调，这里的 $x$ 必须是非负整数。价格上限还要求 $80+10x\leqslant130$，而出租间数 $20-x$ 不能为负。因此，这个模型的实际取值范围是

其中 $x\leqslant5$ 已经比客房数量给出的 $x\leqslant20$ 更严格，所以合并条件后只需保留前一个上界。

从数量关系得到不等式

日租金提高 $x$ 个 $10$ 元后，每间客房的日租金是 $80+10x$ 元，预计出租的客房数是 $20-x$ 间。两者相乘就是每日客房租金总收入：

要求“总收入不低于 $1800$ 元”，就是要求 $R(x)\geqslant1800$，因此数量关系转化为

这里的不等号来自现实条件“至少”，而不是由计算过程自行选择。

标准化后求数学解集

求解时，先暂时把 $x$ 放宽为实数；得到实数解集后，再恢复整数、价格上限等现实条件。先展开左边，再把各项移到同一边：

等价地：

展开只使用分配律，移项相当于两边同减 $1800$，所以不等号方向不变。接着两边同除以负数 $-10$，不等号必须改变方向，得到标准形式

左边可以分解为 $(x-2)(x-10)$。对应抛物线开口向上，零点是 $2$ 和 $10$；图象在两个零点之间不高于 $x$ 轴，所以这个不等式在实数范围内的解集是

把解集筛回现实条件

数学解集要求 $2\leqslant x\leqslant10$，实际范围则要求 $x$ 是整数且 $0\leqslant x\leqslant5$。两者必须同时满足。两个集合的交集是

所以 $x$ 只能取 $2,3,4,5$。

再回到 $x$ 的含义：日租金提高 $20$、$30$、$40$ 或 $50$ 元，所以每间客房的日租金可以定为

例如端点 $x=2$ 时，总收入是 $100\times18=1800$ 元，恰好达到下限；这也检查了端点 $2$ 应当保留。

数学答案必须接受现实筛选