周期变化与周期函数

周期：同一个平移量适用于所有输入

设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $D$。如果存在一个与 $x$ 无关的非零常数 $T$，使得对每个 $x\in D$，都有 $x+T\in D$，并且

那么 $f(x)$ 是周期函数，$T$ 是它的一个周期。这里的“对每个 $x$”不能换成“对某些 $x$”，而且 $T$ 必须始终是同一个常数。要求 $T\ne0$，是为了排除恒有 $f(x+0)=f(x)$ 的无效情形；要求 $x+T$ 仍在定义域内，是为了保证等式两边都有意义。

先找周期，再判断是不是最小的

记 $[x]$ 为不超过实数 $x$ 的最大整数，考虑

对任意整数 $n$，实数与其整数部分同时增加 $n$，所以 $[x+n]=[x]+n$。把这个关系代入原函数，得到

这个等式对每个实数 $x$ 都成立，因此每个非零整数 $n$ 都是 $f$ 的周期；$n=0$ 不满足周期必须非零的条件。特别地，$1$ 是周期，但还要排除比 $1$ 更小的正周期，才能说它是最小正周期。

若 $0<T<1$，那么 $[0]=[T]=0$，于是

候选平移量 $T$ 连 $x=0$ 这一点都不能通过，因此 $0<T<1$ 时没有周期。结合 $1$ 已经是周期，可知这个函数的最小正周期是 $1$。

周期不止一个，也不一定有最小正周期

“周期”指任意一个满足定义的非零平移量；“最小正周期”则是所有正周期中最小的那个。上例中 $1,2,3,\ldots$ 都是周期，最小正周期只有 $1$。所以，找到一个周期并不等于找到了最小正周期。

最小正周期还可能不存在。例如常值函数 $f(x)=c$ 的定义域为 $\mathbb R$ 时，对任意非零实数 $T$ 都有

因此每个正实数都是它的周期。可是任给一个正周期 $T$，$\frac{T}{2}$ 还是更小的正周期，所以正周期中没有最小者。这个函数是周期函数，却没有最小正周期。

先验证重复，再判断最小

判断一个函数是否具有周期性，先选定非零候选量 $T$，检查定义域能否在平移后保持有效，再直接化简 $f(x+T)$，确认等式对每个 $x$ 成立。若还要判断最小正周期，必须先证明候选量 $T_0>0$ 是周期，再排除所有 $0<T<T_0$ 的可能。