任意角三角函数

从边长比到坐标

为什么可以用坐标表示三角函数

初中学过：选定直角三角形中的锐角 $\alpha$，正弦是“对边÷斜边”，余弦是“邻边÷斜边”，正切是“对边÷邻边”。

把这个角放在原点，邻边沿横轴正方向，再把三条边同时除以斜边长。三角形形状不变，边长比不变，斜边却变成了 $1$。设斜边终点是 $P(x,y)$，此时对边长是 $y$，邻边长是 $x$，所以

$$\sin\alpha=\frac y1=y,\qquad\cos\alpha=\frac x1=x,\qquad\tan\alpha=\frac yx.$$

点 $P$ 到原点的距离是 $1$，所以它在单位圆上。正弦读纵坐标，余弦读横坐标，正切读纵坐标与横坐标的比。把角转到其他象限时，仍然读坐标，就能把定义扩展到任意角；只是坐标可能为负，且正切要求 $x\ne0$。

角与函数值

角改变，点的位置与函数值跟着改变

输入的弧度数确定终边，终边与单位圆相交于点 $P$。例如 $\alpha=\frac{\pi}{6}$，就是 $30^\circ$：斜边为 $1$ 时，对边为 $\frac{1}{2}$，由勾股定理得邻边为 $\frac{\sqrt3}{2}$。因此正弦是 $\frac{1}{2}$，余弦是 $\frac{\sqrt3}{2}$，正切是两者的比 $\frac{\sqrt3}{3}$。

从弧度数读出三角函数值

α = π/6 rad（30°）

sin α = 1/2cos α = √3/2tan α = √3/3

P = (√3/2, 1/2)

点在横轴上方，正弦为正；在下方，正弦为负。点在纵轴右侧，余弦为正；在左侧，余弦为负。正切的正负则由两个坐标的比决定。

分别选择 $\frac{\pi}{6}$ 和 $\frac{5\pi}{6}$：两个点一样高，所以正弦都为 $\frac{1}{2}$；横坐标却互为相反数，余弦也不同。不同角可以有相同的函数值。同终边角则落在同一个点上，三个函数值都相同（正切须有定义）。

定义与条件

坐标可以为负，分母不能为零

对任意实数角 $\alpha$，设终边与单位圆交于 $P(x,y)$，统一定义为

$$\sin\alpha=y,\qquad\cos\alpha=x,\qquad\tan\alpha=\frac yx\quad(x\ne0).$$

每个实数弧度数都确定一个终边点，所以正弦和余弦的定义域都是 $\mathbb R$。正切需要除以横坐标，终边落在 $y$ 轴上时没有定义，即须排除

$$\alpha=\frac\pi2+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.$$

例如 $\alpha=\frac{\pi}{2}$ 时，点为 $(0,1)$，正弦是 $1$，余弦是 $0$，正切却没有定义，不能写成“无穷大”。终边在 $x$ 轴上时，纵坐标为零，正弦与正切都是零。

如果终边上取的是非原点 $Q(a,b)$，它到原点的距离为 $r=\sqrt{a^2+b^2}$，把坐标同时除以 $r$ 就回到单位圆。因此也可以写成

$$\sin\alpha=\frac br,\qquad\cos\alpha=\frac ar,\qquad\tan\alpha=\frac ba\quad(a\ne0).$$

单位圆把斜边长度固定为 $1$，让边长比直接表现为坐标。理解了这一步，就能把弧度数与三角函数值联系起来。

01从边长比到坐标