诱导公式

先看转半圈会发生什么

我们已经知道：角的终边与单位圆相交，交点的横坐标就是这个角的余弦，纵坐标就是这个角的正弦。这里不必再把横、纵坐标另记为两个字母。

把角 $\alpha$ 的终边再逆时针转半圈，得到 $\pi+\alpha$。圆上的点移到正对面：左右方向相反，上下方向也相反，所以横、纵坐标都变号。

纵坐标变号，也就是正弦变号：

横坐标变号，也就是余弦变号：

正切是纵坐标除以横坐标。分子、分母同时变号，比值不变，因此在 $\cos\alpha\ne0$ 时：

这就是一组诱导公式：角改变了，但新的函数值可以用原来角的函数值表示。

转四分之一圈，为什么正弦变成余弦

把终边逆时针转 $\frac{\pi}{2}$，也就是 $90^\circ$。原来向右的方向转成向上，原来向上的方向转成向左。因此，新纵坐标等于原横坐标，新横坐标等于原纵坐标的相反数。

新角的正弦取新纵坐标，所以等于原角的余弦：

新角的余弦取新横坐标，所以等于原角正弦的相反数：

转半圈时，横、纵坐标的角色不交换；转四分之一圈时，两者的角色交换。这就是后面“偶不变”和“奇变”的原因。

奇变偶不变，符号看象限

对 $k\frac{\pi}{2}\pm\alpha$，其中 $k\in\mathbb Z$，分两步判断：

看奇偶： $k$ 为奇数，正弦、余弦互换；为偶数，函数名不变。

看符号： 暂把 $\alpha$ 当作锐角，看整个角所在的象限，按原式的函数判断正负。

例如 $\cos(\pi-\alpha)$：$k=2$，余弦不变；暂把 $\alpha$ 当作锐角，整个角在第二象限，余弦为负，所以

常用诱导公式汇总

以下每格都是完整等式。其中 $m\in\mathbb Z$ 表示整周旋转的圈数；$\alpha$ 可取任意实数，正切须满足表中条件。

正弦与余弦

横、纵坐标的交换与变号，对应以下关系：

正切

将同一行的正弦除以余弦，就得到正切关系；分母不能为零。

只有 $\sin\alpha$、$\cos\alpha$ 都不为零时，最后两式才可以写成 $-\frac{1}{\tan\alpha}$ 和 $\frac{1}{\tan\alpha}$。

用熟悉的角计算，别丢掉条件

$\frac{7\pi}{6}=\pi+\frac{\pi}{6}$。加半圈后，正弦和余弦变号，正切不变。利用 $\frac{\pi}{6}$ 的函数值，就能算出：

但口诀不能代替定义域检查。例如 $\alpha=\frac{\pi}{2}$ 时，原式为：

此时 $\tan\alpha$ 没有定义，不能把结果写成 $-\frac{1}{\tan\alpha}$；使用 $-\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ 则得到 $0$，计算正常。