高中数学 · D 模块

正弦函数和余弦函数的性质

正弦、余弦的曲线会重复，也会上升、下降和出现对称。把这些图象特点对应到坐标、区间和公式，才能完整说明函数的性质。

定义域与值域

定义域与值域

定义域：任意实数 $x$ 都能作为输入，因此正弦、余弦函数的定义域都是 $\mathbb R$。

值域：单位圆上点的横、纵坐标都在 $[-1,1]$ 内，且这个区间中的每个值都能取到，因此两个函数的值域都是 $[-1,1]$。

周期

周期

角增加一周，终边点回到原位，因此对任意 $k\in\mathbb Z$，

$$ \sin(x+2k\pi)=\sin x,\qquad \cos(x+2k\pi)=\cos x. $$

当 $k\ne0$ 时，$2k\pi$ 都是这两个函数的周期。还要排除更小的正周期：若 $T>0$ 是正弦函数的周期，由 $\sin T=\sin0=0$ 可知 $T=m\pi$，其中 $m$ 为正整数；当 $m$ 为奇数时，$\sin(\frac{\pi}{2}+T)=-1\ne1$，所以 $m$ 必为偶数。若 $T>0$ 是余弦函数的周期，则 $\cos T=\cos0=1$，单位圆上只有 $T=2n\pi$ 才满足，其中 $n$ 为正整数。因此两个函数的最小正周期都是 $2\pi$。

同一条曲线，观察不同性质

图象加载中；公式与解释见正文。

选择函数与观察内容。拖动蓝色点比较对应位置；方向键也可调整。

奇偶性

奇偶性

定义域 $\mathbb R$ 关于原点对称。由单位圆关于 $x$ 轴的对称关系，

$$ \sin(-x)=-\sin x,\qquad \cos(-x)=\cos x. $$

因此正弦函数是奇函数，图象关于原点中心对称；余弦函数是偶函数，图象关于 $y$ 轴对称。周期性还会把这些对称关系重复到其他位置，但奇偶性的判断仍以原点为基准。

轴与中心

对称轴与对称中心

轴对称是指：轴两侧距离相同的点，函数值相等。中心对称是指：绕中心旋转半周后，图象仍与原图象重合。奇偶性只说明原点或 $y$ 轴处的对称；正弦、余弦曲线还有其他对称位置。

先看正弦。由诱导公式，对任意实数 $t$，

$$ \sin\left(\frac\pi2-t\right)=\cos t =\sin\left(\frac\pi2+t\right). $$

这说明 $\frac{\pi}{2}$ 左右等距离处的函数值相同，所以直线 $x=\frac{\pi}{2}$ 是对称轴。两边的角同时加上 $k\pi$ 时，两个函数值同时乘以 $(-1)^k$，仍相等。因此正弦曲线的对称轴为

$$ x=\frac\pi2+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z. $$

再由诱导公式，

$$ \sin(k\pi+t)=(-1)^k\sin t, \qquad \sin(k\pi-t)=-(-1)^k\sin t. $$

两个横坐标的中点是 $k\pi$，两个纵坐标互为相反数。因此这两个图象点的中点总是 $(k\pi,0)$，正弦曲线的对称中心为

$$ (k\pi,0),\qquad k\in\mathbb Z. $$

余弦可以同样判断。由

$$ \cos(k\pi-t)=(-1)^k\cos t=\cos(k\pi+t), $$

可知直线 $x=k\pi$ 两侧等距离处的函数值相等，所以余弦曲线的对称轴为

$$ x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z. $$

而在 $\frac{\pi}{2}+k\pi$ 两侧，

$$ \cos\left(\frac\pi2+k\pi+t\right)=(-1)^{k+1}\sin t, \qquad \cos\left(\frac\pi2+k\pi-t\right)=(-1)^k\sin t. $$

两个函数值互为相反数，所以余弦曲线的对称中心为

$$ \left(\frac\pi2+k\pi,0\right),\qquad k\in\mathbb Z. $$

这些位置也可以从曲线上读出：对称轴经过波峰或波谷，对称中心位于曲线与 $x$ 轴的交点。判断时仍要区分“左右同高”和“绕一点旋转半周”，不能把两种对称混为一谈。

单调区间

单调区间

在单位圆的一周中，纵坐标先由 $-1$ 增到 $1$，再由 $1$ 减到 $-1$。利用周期性，对每个 $k\in\mathbb Z$，正弦函数在

$$ \left[-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right] $$

上单调递增，在

$$ \left[\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{3\pi}{2}+2k\pi\right] $$

上单调递减。

横坐标在一周中由 $-1$ 增到 $1$、再由 $1$ 减到 $-1$。因此余弦函数在

$$ [(2k-1)\pi,2k\pi] $$

上单调递增，在

$$ [2k\pi,(2k+1)\pi] $$

上单调递减。每个结论都只针对所写的一个闭区间，不能把彼此分开的区间合并成一个单调区间。

最大与最小

最大值和最小值

值域已经保证所有函数值都在 $[-1,1]$ 内；单位圆轴端点又保证边界值能够取得。因此对 $k\in\mathbb Z$，

$$ \sin x=1\iff x=\frac{\pi}{2}+2k\pi, \qquad \sin x=-1\iff x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi, $$

而

$$ \cos x=1\iff x=2k\pi, \qquad \cos x=-1\iff x=(2k+1)\pi. $$

所以两个函数的最大值都是 $1$，最小值都是 $-1$；不同的是它们取得最值的自变量位置相差四分之一周。性质必须连同定义域、区间和取等位置一起理解，不能只记住曲线的起伏外形。