正切函数的图象与性质

定义域与分支

先确定定义域和分支

由

$$ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x} $$

可知，正切函数有意义的条件是 $\cos x\ne0$。单位圆上横坐标为零的角是 $\frac{\pi}{2}+k\pi$，所以定义域为

$$ D=\left\{x\in\mathbb R\mid x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\mathbb Z\right\}. $$

这些被排除的点把定义域分成开区间

$$ I_k=\left(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right), \qquad k\in\mathbb Z. $$

每个 $I_k$ 对应正切曲线的一支；端点不属于定义域，不能画成实点，也不能用曲线穿过。

从切线到曲线

从一条切线看基本分支

先看 $I_0=(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$。角 $x$ 的终边与单位圆交于 $P(\cos x,\sin x)$，再与过点 $(1,0)$ 的竖直切线交于 $T$。点 $O,P,T$ 共线；把 $P$ 的横坐标 $\cos x$ 同比放大到 $1$，纵坐标也要乘以 $\frac{1}{\cos x}$，所以

$$ y_T=\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x. $$

当 $x$ 从 $-\frac{\pi}{2}$ 的右侧增大到 $\frac{\pi}{2}$ 的左侧时，点 $T$ 沿切线不断上移，纵坐标从负无穷不断增大，经过 $0$ 后继续趋向正无穷。这就得到穿过 $(0,0)$ 的一支正切曲线。

切线上的高度，对应正切值

拖动圆上的蓝色点，观察切线交点与曲线上的点。图中只操作 $-\frac{\pi}{2}$ 与 $\frac{\pi}{2}$ 之间的基本分支。

周期与奇偶

周期和奇偶性

诱导公式给出

$$ \tan(x+k\pi)=\tan x,\qquad k\in\mathbb Z, $$

等式两边都只在有定义时比较。因此 $\pi$ 是周期。若 $T>0$ 是正切函数的周期，则 $\tan T=\tan0=0$，而正切的零点是 $m\pi$，其中 $m$ 为正整数，所以最小正周期是 $\pi$。

定义域关于原点对称，并且

$$ \tan(-x)=-\tan x. $$

因此正切函数是奇函数，图象关于原点中心对称。把基本分支按 $\pi$ 的整数倍左右平移，就得到定义域上的全部分支。

逐支递增

单调性不能跨过断点

基本分支中，终边转动使切线交点的纵坐标持续增大；周期平移不改变这一趋势。因此正切函数在每一个区间

$$ \left(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right), \qquad k\in\mathbb Z $$

上都单调递增。

这些区间不能合并。比如 $\frac{\pi}{4}<\frac{3\pi}{4}$，却有

$$ \tan\frac{\pi}{4}=1>-1=\tan\frac{3\pi}{4}. $$

两数之间跨过了断点 $\frac{\pi}{2}$，所以“每一支都递增”不等于“在整个定义域上递增”。

值域与边界

值域、渐近线和最值

在任意分支 $I_k$ 上，$x$ 从左端点右侧趋近时，$\tan x$ 趋向负无穷大；从右端点左侧趋近时，$\tan x$ 趋向正无穷大。因此每一支都能取到任意实数值，正切函数的值域是 $\mathbb R$。直线

$$ x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z $$

是各分支的渐近线：曲线可以无限接近，却没有函数点落在这些直线上。

正切函数的函数值向上、向下都没有界，所以既没有最大值，也没有最小值。理解正切曲线时，应始终先标出定义域断点，再逐支讨论图象和性质。

01定义域与分支