正弦半角
正弦半角：从平方关系到开方
因为 $\alpha=2\times\frac{\alpha}{2}$，所以在余弦二倍角公式中，把原来的角换成 $\frac{\alpha}{2}$，再移项、开方，就能得到正弦半角公式。
从只含正弦的余弦二倍角公式出发。这里用 $\theta$ 表示原来的角。
令 $\theta=\frac{\alpha}{2}$，左边的 $2\theta$ 就变成 $\alpha$。
把正弦平方项移到左边，把 $\cos\alpha$ 移到右边。
两边同除以 $2$，得到半角正弦的平方。
两边开方。由于 $\sqrt{u^2}=|u|$，左边得到半角正弦的绝对值。
根据半角正弦的符号选择 $+$ 或 $-$；根式为 $0$ 时，结果就是 $0$。
根据 $\frac{\alpha}{2}$ 的终边位置判断正弦的符号。若已知范围不足以确定符号，就保留正、负两种可能。
余弦半角
余弦半角：求平方后接着开方
改用只含余弦的二倍角公式，按同样的步骤得到余弦半角公式。
改用只含余弦的二倍角公式。
同样令 $\theta=\frac{\alpha}{2}$。
两边同加 $1$，再交换等号两边。
两边同除以 $2$，得到半角余弦的平方。
对余弦的平方关系两边开方，同样先得到绝对值。
根据半角余弦的符号选择 $+$ 或 $-$；根式为 $0$ 时，结果就是 $0$。
余弦的符号也由半角的位置决定，不一定与正弦同号。
用半角范围确定符号
已知 $\cos\alpha=-\frac{3}{5}$，且 $\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$，求 $\cos\frac{\alpha}{2}$。
将已知范围的各项同除以 $2$。半角在第二象限，余弦为负。
根据半角的位置，在余弦半角公式中取负号。
代入 $\cos\alpha=-\frac{3}{5}$，计算根号内的分数，再化简。
负号由半角所在的第二象限决定，不能直接照搬 $\cos\alpha$ 的符号。
正切半角
正切半角的三种形式
由平方关系得到根式
正切是正弦与余弦的比，因此要求 $\cos\frac{\alpha}{2}\ne0$。
把正切的定义两边平方。
代入前面的两个平方关系，约去分子、分母中共同的因子 $\frac{1}{2}$。
开方后，根据半角正切的符号选取正负。分母 $1+\cos\alpha$ 不能为 $0$。
分子、分母同乘，得到分式
从正切定义出发，分子、分母同乘 $2\cos\frac{\alpha}{2}$，可以凑出二倍角公式。
正切有意义时，分母 $\cos\frac{\alpha}{2}\ne0$，因此可以同乘它的 $2$ 倍。
分子、分母同乘一个非零数，分式的值不变。
分子用正弦二倍角公式，分母用 $2\cos^2\frac{\alpha}{2}=1+\cos\alpha$ 替换。
若再有 $\sin\frac{\alpha}{2}\ne0$，也可以从正切定义出发，改为同乘 $2\sin\frac{\alpha}{2}$。
分子、分母同乘 $2\sin\frac{\alpha}{2}$。这一步要求它不为 $0$。
分子用平方关系替换，分母用正弦二倍角公式替换。使用时要求 $\sin\alpha\ne0$。
两个分式的条件不同。例如 $\alpha=0$ 时，半角正切为 $0$，但最后一个分式成为 $\frac{0}{0}$，不能使用。
公式总结
半角公式与使用条件
| 函数 | 公式 | 使用条件 |
|---|---|---|
| 正弦 | $\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$ | 任意实数角，按半角正弦选符号 |
| 余弦 | $\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$ | 任意实数角，按半角余弦选符号 |
| 正切 | $\tan\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}$ | $1+\cos\alpha\ne0$，按半角正切选符号 |
| $\tan\frac{\alpha}{2}=\dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}$ | $1+\cos\alpha\ne0$ | |
| $\tan\frac{\alpha}{2}=\dfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$ | $\sin\alpha\ne0$ |
半角公式来自二倍角公式：先求平方，再开方。根式前的正负看半角的位置；正切的每一种形式，都要检查自己的分母。