余弦乘余弦
两条余弦公式相加
要把 $\cos\alpha\cos\beta$ 改写为和差，先看下面两条余弦公式。
$$\begin{aligned}\cos(\alpha+\beta)&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\\\cos(\alpha-\beta)&=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\end{aligned}$$
两条公式中的正弦乘积符号相反，相加就能消去。
$$\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta$$
两式相加，正弦乘积抵消，留下两个相同的余弦乘积。
$$\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]$$
两边同除以 $2$，再交换等号两边。
正弦乘正弦
差角余弦减去和角余弦
要把 $\sin\alpha\sin\beta$ 改写为和差，先看下面两条余弦公式。
$$\begin{aligned}\cos(\alpha+\beta)&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\\\cos(\alpha-\beta)&=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\end{aligned}$$
两条公式中的余弦乘积相同，相减就能消去。
$$\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)=2\sin\alpha\sin\beta$$
用下式减去上式，余弦乘积抵消，正弦乘积相加。
$$\sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)]$$
两边同除以 $2$，再交换等号两边。
这里是差角余弦减去和角余弦，顺序交换后，结果会变号。
正弦乘余弦
两条正弦公式相加
要把 $\sin\alpha\cos\beta$ 改写为和差，先看下面两条正弦公式。
$$\begin{aligned}\sin(\alpha+\beta)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\\sin(\alpha-\beta)&=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\end{aligned}$$
两条公式中的余弦乘正弦符号相反，相加就能消去。
$$\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta$$
两式相加，$\cos\alpha\sin\beta$ 抵消，留下两份 $\sin\alpha\cos\beta$。
$$\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]$$
两边同除以 $2$，再交换等号两边。
余弦乘正弦
和角正弦减去差角正弦
要把 $\cos\alpha\sin\beta$ 改写为和差，先看下面两条正弦公式。
$$\begin{aligned}\sin(\alpha+\beta)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\\sin(\alpha-\beta)&=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\end{aligned}$$
两条公式中的正弦乘余弦相同，相减就能消去。
$$\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta$$
用上式减去下式，$\sin\alpha\cos\beta$ 抵消，留下两份 $\cos\alpha\sin\beta$。
$$\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]$$
两边同除以 $2$，再交换等号两边。
公式总结
积化和差公式汇总
以下公式对任意实数 $\alpha,\beta$ 成立。
| 原式 | 完整公式 |
|---|---|
| $\cos\alpha\cos\beta$ | $\cos\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]$ |
| $\sin\alpha\sin\beta$ | $\sin\alpha\sin\beta=\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)]$ |
| $\sin\alpha\cos\beta$ | $\sin\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]$ |
| $\cos\alpha\sin\beta$ | $\cos\alpha\sin\beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]$ |
将和角、差角公式相加或相减，消去一类乘积，再除以 $2$。右边的角都是原来两角的和与差。