半和与半差
把原来的角写成和与差
上一节已经得到形如 $\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta$ 的等式。要处理 $\sin x+\sin y$，只需让两个角分别对应：
$$\alpha+\beta=x,\qquad\alpha-\beta=y$$
把原来的 $x,y$ 分别写成两个新角的和与差。
$$2\alpha=x+y,\qquad2\beta=x-y$$
两式相加消去变量 $\beta$；上式减下式消去变量 $\alpha$。
$$\alpha=\frac{x+y}{2},\qquad\beta=\frac{x-y}{2}$$
分别除以 $2$，得到半和与半差。下面把它们代入上一节的等式。
正弦的和差
正弦之和与正弦之差
两条正弦和差公式相加、相减，分别得到下面两种乘积形式。
正弦之和
$$\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta$$
沿用上一节的相加结果，两份 $\sin\alpha\cos\beta$ 合并。
$$\sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$$
左边换成 $x,y$，右边分别代入半和 $\frac{x+y}{2}$、半差 $\frac{x-y}{2}$。
正弦之差
$$\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta$$
沿用上一节的相减结果，两份 $\cos\alpha\sin\beta$ 合并。
$$\sin x-\sin y=2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$$
同样代入半和与半差，得到正弦之差的乘积形式。
余弦的和差
余弦之和与余弦之差
换成余弦时，仍然代入同一组半和与半差；余弦之差需要保留负号。
余弦之和
$$\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta$$
两条余弦公式相加，正弦乘积抵消。
$$\cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$$
代入半和与半差，得到两个余弦相乘。
余弦之差
$$\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)=-2\sin\alpha\sin\beta$$
和角式减差角式，留下 $-\sin\alpha\sin\beta-\sin\alpha\sin\beta$，所以系数为 $-2$。
$$\cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$$
代入半和与半差，保留前面的负号。
公式总结
和差化积公式汇总
以下公式对任意实数 $x,y$ 成立。
| 原式 | 完整公式 |
|---|---|
| $\sin x+\sin y$ | $\sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$ |
| $\sin x-\sin y$ | $\sin x-\sin y=2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$ |
| $\cos x+\cos y$ | $\cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$ |
| $\cos x-\cos y$ | $\cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$ |
先确认两项同为正弦或同为余弦，再按原式顺序写出半和 $\frac{x+y}{2}$、半差 $\frac{x-y}{2}$。余弦之差前有负号；交换半差的顺序时，要同时处理正弦变号。