反用和角公式
反用和角公式，把两项合成一项
设 $a,b$ 是不同时为 $0$ 的实数，$x$ 可以取任意实数。我们希望得到
$$a\sin x+b\cos x=R\sin(x+\varphi)$$
这里约定 $R>0$；$\varphi$ 是为完成合并而引入的固定角，叫作辅助角。下面从和角公式出发，确定它们的值。
求出系数
系数 R 从哪里来
把右边展开，再与原式比较：
$$\begin{aligned}&R\sin(x+\varphi)\\&=R\cos\varphi\sin x+R\sin\varphi\cos x\end{aligned}$$
用正弦和角公式展开，得到两项。
$$R\cos\varphi=a,\qquad R\sin\varphi=b$$
两项系数分别与原式中的 $a$、$b$ 对应。
$$R^2(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)=a^2+b^2$$
两式分别平方、相加，再提取 $R^2$。
$$R^2=a^2+b^2,\qquad R=\sqrt{a^2+b^2}$$
括号内的平方和等于 $1$。由于约定 $R>0$，开方时取正根。
确定辅助角
辅助角怎样确定
求出 $R$ 后，将两个系数条件分别除以 $R$：
$$\cos\varphi=\frac{a}{R},\qquad\sin\varphi=\frac{b}{R}$$
同时满足这两个条件的角，就能完成合并。它一定存在：两个比值的平方和为 $1$，所以点 $\left(\frac{a}{R},\frac{b}{R}\right)$ 在单位圆上，取这个点对应的角即可。
辅助角的终边要同时符合正弦、余弦的符号，不能只看 $\tan\varphi=\frac{b}{a}$；当 $a=0$ 时，这个比值也无意义。相差 $2k\pi$ 的辅助角给出相同的合并结果，其中 $k\in\mathbb Z$。
公式总结
公式总结
| 内容 | 公式或条件 |
|---|---|
| 合并公式 | $a\sin x+b\cos x=R\sin(x+\varphi)$ |
| 系数 | $R=\sqrt{a^2+b^2}$ |
| 辅助角 | $\cos\varphi=\dfrac{a}{R}$，$\sin\varphi=\dfrac{b}{R}$ |
| 使用条件 | $a,b$ 是不同时为 $0$ 的实数，$x\in\mathbb R$ |
先求系数 $R$，再确定辅助角，最后反用和角公式合并。若 $a=b=0$，原式恒为 $0$，直接处理即可。