圆周运动与正弦型函数

从圆到函数

时间确定转角，转角确定纵坐标

点 $P$ 沿半径为 $A$ 的圆匀速转动。以圆心 $O$ 为原点，点的纵坐标是 $y$；我们要写出以时间 $t$ 为自变量的函数 $y(t)$。

从 $x$ 轴正方向量角，逆时针为正。初始角是 $\varphi$，每单位时间转过 $\omega$ 弧度；经过时间 $t$，当前角就是 $\theta=\varphi+\omega t$。由圆上点与正弦的关系，$y=A\sin\theta$。

下图画的是点在圆上的位置：$x$ 轴表示左右位置，不表示时间；绿色线段表示纵坐标 $y$，上方为正，下方为负。若画 $y(t)$ 的函数图象，则用横轴表示时间 $t$，纵轴表示对应的 $y$。

图中：$A=10$、$\omega=\dfrac\pi4$、$\varphi=-\dfrac\pi2$

灰色虚线是初始方向；橙色弧线是转过的角 $\omega t$，玫紫色弧线是当前角 $\theta$。拖动是在选择时刻，半径与角速度保持不变。

沿着图中的对应关系，把角代入纵坐标表达式：

$$\theta(t)=\varphi+\omega t$$

初始角加上转过的角，得到当前角。

$$y=A\sin\theta$$

半径乘以当前角的正弦，得到纵坐标。

$$y(t)=A\sin(\omega t+\varphi)$$

代入当前角，就得到纵坐标随时间变化的函数。

这里 $A>0$、$\omega>0$ 且保持不变，$t\geqslant0$，角用弧度表示。$y$ 在圆心上方为正、下方为负；圆是点的运动轨迹，正弦函数描述的是它的纵坐标。

一周运动

用一周运动检查模型

沿用上图半径为 $10$ 的圆。点每 $8$ 个时间单位转一周，并从最低点开始逆时针运动。转完一周所需的时间叫作周期，记为 $T$；本例 $T=8$。

$$A=10$$

半径为 $10$，所以纵坐标在 $-10$ 与 $10$ 之间变化。

$$\omega=\frac{2\pi}{8}=\frac\pi4$$

一周是 $2\pi$ 弧度，用时为 $8$，所以每单位时间转过 $\frac\pi4$ 弧度。

$$\varphi=-\frac\pi2$$

最低点的半径竖直向下，可以用从 $x$ 轴正方向顺时针转过的 $-\frac\pi2$ 表示。

$$y(t)=10\sin\left(\frac\pi4t-\frac\pi2\right)$$

代入半径、角速度和初始角，得到本例的纵坐标函数。

开始时 $t=0$，$y(0)=-10$，点在最低处；半周后 $t=4$，$y(4)=10$，点在最高处；到 $t=8$ 时，$y(8)=-10$，回到最低处，正好转完一周。

参数与条件

参数分别对应什么

本例用“一周的角÷一周的时间”求角速度。一般地，一周转过 $2\pi$ 弧度，因此角速度与周期满足下面的关系。沿圆周每单位时间走过的路程，叫作线速度大小，记为 $v$。

$$\omega T=2\pi\quad\Longrightarrow\quad T=\frac{2\pi}{\omega}$$

每单位时间转过 $\omega$ 弧度，用 $T$ 个时间单位转完一周；$\omega>0$，可以相除求出周期。

$$v=A\omega$$

半径乘以角速度，得到沿圆周运动的线速度大小。角速度用弧度计，时间单位须保持一致。

量	含义与关系
$A>0$	半径；竖直投影偏离圆心的最大距离。
$\omega>0$	每单位时间转过的角，保持恒定。 $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$，$v=A\omega$
$\varphi$	初始角，决定起始方向。相差 $2k\pi$ 的初始角方向相同，$k\in\mathbb Z$。
$t\geqslant0$	从开始计时起经过的时间；与角速度的时间单位一致。

模型的边界

这个模型要求：圆心固定、半径不变、角速度恒定，并观察竖直投影。若转速随时间改变，转角就不再是 $\omega t+\varphi$；若圆心也移动，还要另行描述圆心的位置。

圆周运动产生正弦型函数，是因为圆上点的纵坐标等于半径乘以转角的正弦。先由时间确定角，再由角确定纵坐标。

若将函数图像整体上下平移，只需在 $A\sin(\omega t+\varphi)$ 后加上平移量：向上为正，向下为负。

01从圆到函数