三角函数模型的建立与解释

对象与单位

从温度变化选择模型

某段观测中，温度在 6 时最低，为 10℃；随后上升，在 14 时达到紧邻的最高值 30℃。怎样用公式描述这段变化，又怎样求出达到 20℃ 的时刻？

记时刻为 $t$，单位为小时（h）；温度为 $y$，单位为摄氏度（℃）。这里研究的时间范围是 $6\le t\le14$。若一个量围绕稳定中心反复升降，且波峰、波谷的形状大致重复，可以尝试正弦模型。

$$y=h+A\sin(\omega t+\varphi)$$

$h$ 是波动中心，$A>0$ 是离开中心的最大幅度，叫作振幅。$\omega>0$ 决定重复快慢；括号里的角叫相位，$\varphi$ 决定计时起点对应的相位。

采用这个模型，是假设所研究时段内的中心、振幅和周期没有显著变化。接下来用温度数据确定这四个参数。

建立模型

由观测数据确定参数

先由最高、最低温度定出中心与幅度，再由时间间隔和起始位置确定括号里的角。记最高值为 $M$，最低值为 $m$。

$$\begin{aligned}h&=\frac{M+m}{2}\\&=\frac{30+10}{2}=20\end{aligned}$$

中心是最高、最低值的中点，所以 $h=20$，对应温度 20℃。

$$\begin{aligned}A&=\frac{M-m}{2}\\&=\frac{30-10}{2}=10\end{aligned}$$

从最低到最高共相差 20℃，中心到任一端只有一半，所以振幅是 10℃。

$$\begin{aligned}\frac{T}{2}&=14-6=8\\T&=16\end{aligned}$$

周期 $T$ 是完成一次重复所需的时间。最低点到紧邻最高点只走了半个周期，因此候选模型的周期是 16 h。

$$\begin{aligned}\omega T&=2\pi\\\omega&=\frac{2\pi}{T}=\frac{\pi}{8}\end{aligned}$$

一整个周期内，相位增加 $2\pi$。用它除以周期，得到每小时增加的角，即角频率 $\omega$，单位为弧度每小时。

频率 $f$ 表示每单位时间完成的周期数，因此 $f=\dfrac1T=\dfrac{\omega}{2\pi}$，也就是 $\omega=2\pi f$。本例的频率为每小时 $\dfrac1{16}$ 个周期。

最后确定 $\varphi$。一般可把已知时刻 $t_0$ 的值代入；一个正弦值可能对应两个位置，还要结合上升、下降方向或相邻峰谷判断。

$$\sin(\omega t_0+\varphi)=\frac{y(t_0)-h}{A}$$

先减去中心 $h$，再除以振幅 $A$，就把已知值换成正弦值。

$$\sin\left(\frac\pi8\times6+\varphi\right)=-1$$

本例在 $t=6$ 时最低：$(10-20)\div10=-1$。因此相位处在正弦的最低点。

$$\frac\pi8\times6+\varphi=\frac{3\pi}{2}$$

选最低点的相位 $\dfrac{3\pi}{2}$。随着时间增加，相位继续增大，正弦值随即上升，符合温度变化方向。

$$\varphi=\frac{3\pi}{2}-\frac{3\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}$$

减去时刻 6 对应的角，得到 $\varphi$。相差 $2k\pi$ 的取值给出同一模型，其中 $k\in\mathbb Z$。

$$\begin{gathered}y=20+10\sin\left(\frac\pi8t+\frac{3\pi}{4}\right)\\t\in[6,14]\end{gathered}$$

将四个参数放回候选公式，并写明有效时间范围。这是对这段温度变化的近似描述。

读图与反求

由时间读温度，由温度求时间

先核对两端：$t=6$ 和 $t=14$ 对应的相位分别为 $\dfrac{3\pi}{2}$ 和 $\dfrac{5\pi}{2}$，正弦值为 $-1$ 和 $1$，温度正好是 10℃ 和 30℃。两端之间经过正弦的上升段。

下图只画有效区间内的模型。拖动图下的时刻滑杆，观察温度怎样由最低值升向最高值；虚线表示中心温度 20℃。

选择时刻（h）

曲线给出模型估计值，不是额外观测数据；区间外不作推断。

再从温度反求时刻。要求达到 20℃ 的时间，就把 $y=20$ 代入，并先限制相位范围。

$$20=20+10\sin\left(\frac\pi8t+\frac{3\pi}{4}\right)$$

把目标温度放在左边，未知量现在是时刻 $t$。

$$\sin\left(\frac\pi8t+\frac{3\pi}{4}\right)=0$$

两边减去 20，再除以 10。达到中心温度时，正弦值为零。

$$\frac{3\pi}{2}\le\frac\pi8t+\frac{3\pi}{4}\le\frac{5\pi}{2}$$

由 $6\le t\le14$ 换算相位范围。在这段范围里，只有 $2\pi$ 的正弦值为零。

$$\begin{aligned}\frac\pi8t+\frac{3\pi}{4}&=2\pi\\t&=\frac{2\pi-\frac{3\pi}{4}}{\frac\pi8}=10\end{aligned}$$

先减去 $\dfrac{3\pi}{4}$，再除以 $\dfrac\pi8$。因此按这个模型，温度在 10 时达到 20℃。

反求时刻要在有效范围内找全所有位置。范围更大时，同一温度可能对应多个时刻；范围内没有对应位置时，也可能无解。

检验与汇总

把公式放回实际范围

两端代入相符，只说明参数计算没有立即矛盾。还要用其他观测时刻比较模型估计与实际温度，检查峰谷、增减方向和周期。若偏差有明显规律，可能需要调整中心、振幅或周期。

建模公式与使用条件
要确定什么	关系与检查
变量与单位	明确 $t,y$ 的含义、单位与实际范围；代入时间的单位须一致。
中心与振幅	$h=\dfrac{M+m}{2}$，$A=\dfrac{M-m}{2}$ 检查 $h+A=M$、$h-A=m$。
周期与频率	$\omega=\dfrac{2\pi}{T}=2\pi f$ 相邻同类峰谷相隔 $T$；最低到紧邻最高只隔半周期。
相位	代入一个可靠时刻，再结合增减方向或峰谷位置；$\varphi$ 相差 $2k\pi$ 时模型相同。
使用条件	$A>0$、$\omega>0$；中心、振幅、周期在研究时段内近似稳定。
有效范围	本例仅限 $t\in[6,14]$。反求时刻也须受此范围限制；误差还需其他观测检验。

模型必须连同单位、参数来源、有效范围和误差一起解释。公式在区间外仍能计算，不代表实际温度仍会按同一规律变化。

01对象与单位