正弦定理 | OpenKS

建立坐标

把三角形放进坐标系

如图，把点 $A$ 放在原点，让 $AB$ 沿 $x$ 轴正方向，三边长分别记为 $a,b,c$。取点 $C$ 在 $x$ 轴上方，写作 $C(u,h)$；其中 $h$ 是点 $C$ 到 $x$ 轴的高度。先看角 $A,B$ 都是锐角的情形。

绿色竖括号标出高度 $h$，$D$ 是垂足。

下面分别用角 $A$、$B$ 的正弦表示高度 $h$。

正弦与高度

两条边，对应同一个纵向高度

从 $A$ 沿边 $AC$ 看向 $C$，边长是 $b$，与 $x$ 轴正方向的夹角是 $A$。在直角三角形 $ACD$ 中，正弦是高度与斜边长的比。

$$\sin A=\frac{h}{b}$$

角 $A$ 的对边是高 $CD=h$，斜边是 $AC=b$。正弦值表示高度占这条斜边长的比例。

$$h=b\sin A$$

两边乘以 $b$。边长 $b$ 乘以这个比例，得到点 $C$ 的纵坐标 $h$。

再从 $B$ 沿边 $BC$ 看向同一个点 $C$。这时斜边长是 $a$，角 $B$ 是 $BC$ 与向左的 $BA$ 之间的内角；在直角三角形 $BCD$ 中，对边仍是 $CD$。

$$\sin B=\frac{h}{a}$$

角 $B$ 的对边仍是高 $h$，斜边换成 $BC=a$，所以相应的比例是 $h/a$。

$$h=a\sin B$$

两边乘以 $a$，得到同一个高度 $h$。点 $A,B$ 的纵坐标都是 $0$，到点 $C$ 的竖直高度相同。

$$b\sin A=a\sin B$$

两种计算都得到点 $C$ 的纵坐标，因此可以令它们相等。

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$$

三角形的内角在 $(0,\pi)$ 内，正弦值均为正。两边同除以 $\sin A\sin B$，再交换等号两边，得到边与对角正弦的比。

钝角情形：横坐标变了，高度关系仍成立

若角 $A$ 为钝角，点 $C$ 在 $y$ 轴左侧，垂足 $D$ 落在 $BA$ 的延长线上，如下图。

$u<0$，但 $h>0$。点 $C$ 在 $y$ 轴左侧，高 $CD$ 落在三角形外部。

$$h=b\sin(\pi-A)=b\sin A$$

直角三角形 $ACD$ 中的锐角是 $\pi-A$。先据此读出高，再用 $\sin(\pi-A)=\sin A$，高度关系仍成立。

此时 $B$ 仍为锐角，$h=a\sin B$ 不变。若 $B$ 为钝角，垂足落在 $B$ 的右侧，同样用 $\sin(\pi-B)=\sin B$。若 $A$ 或 $B$ 为直角，垂足与对应顶点重合，且 $\sin(\pi/2)=1$，高的等式仍成立。

轮换顶点，连接三个比值

从另一个顶点作高，用同样的方法连接另外两组边角。

$$\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$

轮换顶点后，同一条高的两种表示给出这两个比值相等。

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$

将两次得到的比例连接起来，就是正弦定理。在同一个三角形中，边长与对角正弦的比保持不变。

使用条件

先找一组已知的边与对角

有了比例式，已知的一组边角就能连接其他边角。

已知两角和一边

先用 $A+B+C=\pi$ 求出第三个角，再用已知边及其对角的比，求其余两边。

已知两边和其中一边的对角

例如已知 $a,b,A$，先从比例式中求出 $\sin B$。

$$\sin B=\frac{b\sin A}{a}$$

将 $a\sin B=b\sin A$ 两边除以边长 $a>0$，把 $\sin B$ 单独留下。

右边必须在 $(0,1]$ 内。即使满足这个条件，同一个正弦值也可能对应互为补角的两个角，还要检查内角和，不能直接认定三角形唯一。两边及一边对角（SSA）的解数，留到后续解三角形内容中判断。

外接圆拓展

拓展：公共比就是外接圆直径

通过三角形三个顶点的圆叫作外接圆。设圆心为 $O$、半径为 $R$，弦 $BC$ 对应的较小圆心角为 $\theta$，从 $O$ 向弦作垂线，垂足为 $M$。下图先取角 $A$ 为锐角。

对照半径 $OB$、半弦 $BM$ 和角 $BOM$，读取正弦关系。

在等腰三角形 $OBC$ 中，高 $OM$ 同时平分弦和顶角，所以 $BM=a/2$、$\angle BOM=\theta/2$。当弦不是直径时，在直角三角形 $OMB$ 中有：

$$\frac{a}{2}=R\sin\frac{\theta}{2}$$

角 $BOM$ 的对边是半弦 $BM$，斜边是半径 $OB$；由正弦定义，半弦长等于半径乘以 $\sin(\theta/2)$。

$$a=2R\sin\frac{\theta}{2}$$

两边乘以 $2$，由半弦长得到整条弦的长度。

圆周角 $A$ 所对的是不含点 $A$ 的弧 $BC$；这段弧对应的圆心角是 $2A$。注意它不一定是较小的圆心角。

$$\theta=2A\quad(A<\tfrac{\pi}{2})$$

$A$ 为锐角时，所对的圆心角小于 $\pi$，正是较小圆心角，因此 $\sin(\theta/2)=\sin A$。

$$\theta=2\pi-2A\quad(A>\tfrac{\pi}{2})$$

$A$ 为钝角时，所对的是大弧；较小圆心角对应另一段弧。因此 $\theta/2=\pi-A$，仍有 $\sin(\theta/2)=\sin A$。

$$a=2R\sin A$$

代入弦长公式，两种情形都得到这个关系。若 $A=\pi/2$，$BC$ 本身就是直径，$a=2R$，同样满足此式。

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$

将 $a=2R\sin A$ 除以 $\sin A$，再对另外两条边轮换，就得到公共比等于外接圆直径。

$2R$ 是在正弦定理基础上的拓展性质：北师大版在同节例题中展开，人教 A 版在习题中展开。

用一组三角形数据核对

设 $A=30^\circ$、$B=60^\circ$、$a=3$，则 $C=90^\circ$。

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{3}{1/2}=6$$

先用已知的边和对角，求出公共比。

$$b=6\sin60^\circ=3\sqrt3$$

公共比乘以 $B$ 的正弦，得到对边 $b$。

$$c=6\sin90^\circ=6$$

公共比乘以 $C$ 的正弦，得到斜边 $c$。

$$R=\frac{6}{2}=3$$

公共比为 $2R=6$，所以半径为 $3$，恰好是斜边的一半。

公式总结

公式与条件，一起记住

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$

适用于三角形：$a,b,c$ 分别是 $A,B,C$ 的对边，$0<A,B,C<\pi$，且 $A+B+C=\pi$。三个正弦均为正，分母都有意义。

$$\frac{a}{\sin A}=2R$$

拓展中，$R$ 是这个三角形的外接圆半径，所以三个比值也都等于 $2R$。

推导的关键是同一条高有两种表示。使用时先配对边与对角；求得角的正弦后，还要检查角和三角形是否成立。

01建立坐标