测楼高的例子
到不了楼底，怎样测出楼高？
建筑物底部无法接近，但可以在朝向建筑物的同一条水平直线上设两个测站。两站相距 $20\,\mathrm m$，仪器高均为 $1.5\,\mathrm m$，从远、近两站看楼顶的仰角分别是 $30^\circ$ 和 $45^\circ$。这些数据怎样帮助我们求出楼高？
先看图：两条视线和测站间的基线组成一个三角形。把可测的边与角放进这个三角形，就能求出视线长度，再得到高度。
较远、较近的仪器中心分别记为 $C,D$，楼顶记为 $A$。建筑物竖直线与仪器水平线交于 $E$，$C,D,E$ 依次共线。
仰角是向上的视线与朝向目标的水平射线之间的夹角。远、近两站的仰角分别记为 $\alpha=30^\circ$、$\beta=45^\circ$。
要找的是建筑物总高度。$AE$ 只表示楼顶高出仪器水平线的部分，算出它以后，还要加上 $1.5\,\mathrm m$。
仰角与内角
把仰角转成内角
现在看三角形 $ACD$。在 $C$ 点，边 $CD$ 朝向建筑物；在 $D$ 点，边 $DC$ 却背向建筑物。射线方向不同，仰角与内角的对应也不同。
射线 $CD$ 与朝向建筑物的水平射线同向，所以 $C$ 点内角就是远处的仰角。
射线 $DC$ 与 $DE$ 反向。$D$ 点内角与仰角 $45^\circ$ 互为补角。
三角形内角和为 $180^\circ$。减去底部两个内角，得到楼顶处的夹角。
图中标出的 $45^\circ$ 是视线 $DA$ 与朝向建筑物的射线 $DE$ 的夹角；三角形内角使用反向的射线 $DC$，所以要取它的补角。
求视线长度
用一组对边、对角求 AD
在三角形 $ACD$ 中，基线 $CD$ 对着顶角 $15^\circ$，视线 $AD$ 对着 $C$ 点的 $30^\circ$。把边与对角配对，就能使用正弦定理。
边长与其对角正弦的比相等。分母必须使用对应的三角形内角。
两边乘以 $\sin\alpha$，单独求出视线长度 $AD$。
代入基线和角度。此时得到的是斜着的视线长度，还不是高度。
这里 $0<\alpha<\beta<90^\circ$，因而 $0<\beta-\alpha<90^\circ$，分母 $\sin(\beta-\alpha)$ 不为 $0$。
求实际高度
先取竖直分量，再补回仪器高度
转到直角三角形 $ADE$。$AD$ 是斜边，$AE$ 是仰角 $\beta$ 的对边，因此用正弦取出视线的竖直分量。
用斜边乘以仰角的正弦，得到楼顶高出仪器水平线的高度。
代入视线长度 $AD$，以及仰角 $45^\circ$。
使用特殊角的正弦值化简。这里 $\sin30^\circ=\frac12$、$\sin45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$、$\sin15^\circ=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$。
把精确结果换成近似值，单位仍是米。
再加仪器中心离地的 $1.5\,\mathrm m$，才得到从地面到楼顶的总高度。
检查与总结
算完以后，还要回到测量条件
近处仰角为 $45^\circ$，所以 $DE=AE\approx27.32\,\mathrm m$。远处水平距离 $CE=CD+DE\approx47.32\,\mathrm m$。用这两个距离检查远处的仰角：
高度与远处水平距离之比，与测得的 $30^\circ$ 仰角相符；近处的仰角也确实更大。
从一个例子，归纳测量方法
把等高仪器离地的高度记为 $h$，建筑物总高度记为 $H$。合并本例的计算，可写成：
分式是楼顶高出仪器水平线的高度，再加仪器高度 $h$。这条公式对应本例的测量关系。
适用条件：地面水平，建筑物竖直，两测站与建筑物底部在同一竖直截面内；仪器等高，$C,D,E$ 依次共线，$CD>0$，且 $0<\alpha<\beta<90^\circ$。
若地面有坡度、仪器不等高或测点不共面，就必须修改图形与数据。最终数值还应按基线和角度的测量精度取舍，计算位数不能超过原始测量的可信程度。
测河宽或不可达距离时，也可以先确定目标长度，选取可测的基线与角度，建立三角形，再选择合适的边角关系求解。最后检查条件、单位和精度。可以沿用的是这个思路，具体公式要随测量关系改变。