从夹角求高
从夹角得到高
在三角形 $ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别记为 $a,b,c$，即 $BC=a$、$CA=b$、$AB=c$。以 $AB$ 为底，从 $C$ 向直线 $AB$ 作垂线，垂足记为 $H$，高 $CH=h$，面积记为 $S$。
先看 $A$ 为锐角的情况。在直角三角形 $ACH$ 中，$AC=b$ 是斜边，$CH=h$ 是角 $A$ 的对边。
$$\sin A=\frac{h}{b}$$
按正弦的定义，用对边长除以斜边长。
$$h=b\sin A$$
等式两边乘以正数 $b$，就把没有直接给出的高表示出来。
若 $A$ 是钝角，利用 $\sin(\pi-A)=\sin A$，仍有 $h=b\sin A$；直角情形也成立。
代回面积
代回底乘高的一半
高已经写成 $b\sin A$，接下来代回熟悉的面积公式。
$$S=\frac12ch$$
以 $c$ 为底，对应的高是 $h$。
$$S=\frac12bc\sin A$$
代入 $h=b\sin A$，整理乘积。
例如，$b=5$、$c=8$、$A=30^\circ$，代入便得：
$$S=\frac12\times5\times8\times\frac12=10$$
三种公式
轮换得到三个等价形式
改用另外两条边作底，同样的底高关系给出三个等价形式。已知哪两边及其夹角，就选对应的一式。
$$S=\frac12bc\sin A$$
两边 $b,c$，夹角 $A$。
$$S=\frac12ca\sin B$$
两边 $c,a$，夹角 $B$。
$$S=\frac12ab\sin C$$
两边 $a,b$，夹角 $C$。
正弦面积式仍是“底乘高的一半”。使用时，只需认准两条边及其夹角。