项与序号的对应
按照确定顺序排列的一列数叫作数列，每个数叫作数列的项。这里的项都是实数，序号从 $1$ 开始，取正整数。
| $n$ | 序号，表示第几项。 |
|---|---|
| $a_n$ | 第 $n$ 项，表示这个位置上的数，也叫通项。 |
| $a_1$ | 首项，即第一个数。 |
$a_n$ 的下标表示位置，不是 $a$ 与 $n$ 相乘。
项数无限的叫无穷数列，通常写成
项数有限的叫有穷数列。若总项数为正整数 $N$，最后一项就是 $a_N$，序号 $n$ 只能取 $1,2,\ldots,N$。
数列简记为 $\{a_n\}$，顺序仍须保留，不能按普通集合理解。例如，$2,2,5$ 有三项，两个 $2$ 分别占第 1、2 项。不同位置的项值可以相同，但每个序号只能对应一个项值。
数列的离散定义域
把序号看作自变量，把相应的项看作函数值。用 $D$ 表示所有允许序号组成的定义域，用 $f$ 表示序号到项值的对应规则，就有
无穷数列的定义域是正整数集，记作 $\mathbb N^*=\{1,2,3,\ldots\}$；总项数为 $N$ 的有穷数列，定义域是 $D=\{1,2,\ldots,N\}$。在这个定义域内，每个 $n$ 对应唯一的实数 $a_n$，恰好符合函数的要求。函数允许不同自变量对应同一个函数值，因此数列中出现相同项值并不矛盾。
反过来，一个实值函数在这些序号上的函数值，按序号依次排列，也就构成了数列。
数列的特殊之处在于，自变量只能取这些分立的序号，不能在相邻整数之间任意取值。例如，第 1 项和第 2 项都存在，并不意味着还存在“第 $1.5$ 项”。这就是“离散”的含义。
同一数列的不同表示
下面用同一个数列说明四种表示方法：按规则“第 $n$ 项取 $2n-1$”确定各项，序号 $n$ 取正整数。
依次列出各项：看清顺序
按序号从小到大排列项值。这个数列的开头是：
从左到右分别是第 $1,2,3,4,5,\ldots$ 项。省略号表示还有后续项；后续由已给定的规则确定。
表格表示：序号与项值逐一对应
把序号和项值放在同一行，就能直接找到每个位置对应的数。下表只列出前五项。
| 序号 $n$ | 项值 $a_n$ |
|---|---|
| $1$ | $1$ |
| $2$ | $3$ |
| $3$ | $5$ |
| $4$ | $7$ |
| $5$ | $9$ |
图像表示：一个序号对应一个点
把序号 $n$ 作为横坐标、项值 $a_n$ 作为纵坐标，每一项就对应点 $(n,a_n)$。例如，第 $2$ 项为 $3$，对应点 $(2,3)$。
这些点虽然逐渐升高，但相邻整数序号之间没有其他项，不能连成连续曲线来补出“第 $1.5$ 项”。
通项公式：由序号直接求项值
用含序号 $n$ 的式子给出第 $n$ 项，叫作通项公式。这个数列的规则写成：
例如，代入 $n=3$，得到 $a_3=2\times3-1=5$，与列表、表格和图像中的第 $3$ 项一致。
四种表示描述的是同一个对应关系。通项公式很方便，但不是数列存在的必要条件；有序的数据、表格或其他明确关系也可以确定数列。
有限项与后续规则
上面的例子是先给定规则 $a_n=2n-1$，再由规则算出各项。如果只告诉你前四项是 $1,3,5,7$，却没有给出后续规则，情况就不同了。
一种规则是：对每个正整数序号 $n$，项值都取 $2n-1$，于是第 5 项为 $2\times5-1=9$。另一种规则是：前四项依次取 $1,3,5,7$，从第 5 项起全部取 $0$。这两种规则都为每个正整数序号指定了唯一项值，都能确定一个无穷数列；它们前四项完全相同，第五项却不同。
| 给定规则 | 前四项 | 第 5 项 |
|---|---|---|
| 每项取 $2n-1$ | $1,3,5,7$ | $9$ |
| 前四项相同，此后全为 $0$ | $1,3,5,7$ | $0$ |
因此，看到前几项后猜测“后面继续每次增加 $2$”是一个可能的猜想，不能当作已知条件。无论已知多少项，只要已知的项数有限，且没有其他限制，就可以让下一项取两个不同的值，再分别约定其余各项，从而得到不同的后续规则。有限项可以启发猜测，但不能单独确定后续规律。如果明确说明四项就是全部项，$1,3,5,7$ 则已经完整给出了一个有穷数列，此时不存在需要继续确定的第 5 项。
相邻项与单调性
相邻的是位置，项值未必相差 $1$
$a_n$ 与 $a_{n+1}$ 分别位于第 $n$ 项和下一项。以已给定的 $a_n=2n-1$ 为例，取 $n=2$：
| 当前项 | 下一项 | |
|---|---|---|
| 序号 | $n=2$ | $n+1=3$ |
| 项值 | $a_2=3$ | $a_3=5$ |
这里序号相差 $1$，项值相差 $5-3=2$。序号相邻，不等于项值相差 $1$。
单调性：每一对相邻项都要满足条件
对于至少有两项的数列，下表中的不等式都要求对定义域内每一对相邻项成立。有穷数列的总项数为 $N$ 时，只比较 $n=1,2,\ldots,N-1$。
| 类型 | 相邻项条件 | 有穷数列例子 |
|---|---|---|
| 递增 | $a_{n+1}>a_n$ | $1,3,5$ |
| 递减 | $a_{n+1}<a_n$ | $5,3,1$ |
| 常数列 | $a_{n+1}=a_n$ | $2,2,2$ |
| 不减 | $a_{n+1}\ge a_n$ | $1,1,2$ |
| 不增 | $a_{n+1}\le a_n$ | $2,2,1$ |
递增、递减要求严格不等；不减、不增允许相邻项相等。因此 $1,1,2$ 不减，但不递增。这些类别并不互斥：常数列既不减，也不增。
表中例子均只含列出的三项，已经比较了全部相邻项。对于无穷数列，开头几项上升不能证明整个数列递增，必须依据规则判断所有相邻项。
用规则证明，而不只观察开头
对于 $a_n=2n-1$，先求下一项，再比较两项之差：
把规则中的序号 $n$ 换成 $n+1$，展开括号并合并常数项，得到下一项。
将下一项和当前项的表达式代入，作差时减去整个当前项。
去括号后，两个 $2n$ 相消，留下 $1+1=2$。
对每个正整数 $n$，差都为 $2>0$，所以这个无穷数列递增。
上下交替：不符合单调条件
这个数列的第 $n$ 项记作 $b_n$，规则为 $b_n=(-1)^{n-1}$，$n\in\mathbb N^*$。奇数序号对应偶数指数，项值为 $1$；偶数序号对应奇数指数，项值为 $-1$。
| 相邻位置 | 项值比较 | 变化 |
|---|---|---|
| $1\to2$ | $-1<1$ | 下降 |
| $2\to3$ | $1>-1$ | 上升 |
一次下降就违反了不减的要求，一次上升就违反了不增的要求。因此它既不递增，也不递减，更不是常数列；但每个序号仍唯一对应一个项值，所以它仍是数列。
核心结论
数列的核心是序号与项值的对应。$n$ 表示第几项，$a_n$ 是该位置唯一确定的实数；顺序不能忽略，不同位置的项值可以相同。
序号只能取规定的整数。无穷数列的定义域是 $\mathbb N^*$；有穷数列的定义域是 $\{1,2,\ldots,N\}$，其中 $N$ 为总项数。因此，数列是一种离散函数。
列表、表格、图像和通项公式描述同一个对应关系。已给定的规则决定各项；仅凭前几项作出的猜测，不能代替这个规则。