前 $n$ 项和是一列累积结果
$a_n$ 表示第 $n$ 项。从第 1 项到第 $n$ 项的和称为前 $n$ 项和，记作 $S_n$。
这里的下标 $n$ 表示累加到第几项，前提是前 $n$ 项都存在。若数列只有 $N$ 项，其中 $N$ 是正整数，则 $n$ 只能取 $1,2,\ldots,N$；若数列有无穷多项，$n$ 可以取任意正整数。下文的 $n$ 都限于原数列允许的序号。
随着 $n$ 依次取值，这些累积结果本身也构成一个数列。即使原数列有无穷多项，$S_n$ 仍然只表示前 $n$ 项这个有限部分的和。$a_n$ 是一个位置上的项，$S_n$ 是从开头到这个位置的总和，两者不能混淆。
从数列的项得到累积和
已知各项时，按照定义累加即可得到前 $n$ 项和。例如，无穷数列 $a_n=2n$ 的前几项是 $2,4,6,\ldots$，相应地有 $S_1=2$、$S_2=2+4=6$、$S_3=2+4+6=12$。其中 $a_3=6$ 是第 3 项，而 $S_3=12$ 是前 3 项的总和。
当 $n\geqslant2$ 时，前 $n-1$ 项的和加上第 $n$ 项，就是前 $n$ 项和。
这里的“加入”指加上 $a_n$，并不意味着累积和一定变大；若 $a_n$ 为负数，累积和就会变小。
从前 $n$ 项和回到数列的项
当 $n\geqslant2$ 时，括号内是前 $n-1$ 项，括号外是 $a_n$。
$S_{n-1}$ 恰好等于上式括号内的和。
两式相减，减去共有的前 $n-1$ 项。
前 $n-1$ 项逐项抵消，只剩第 $n$ 项。
这个推导对每个有效的 $n\geqslant2$ 都成立，并不依赖前几项的具体数值。
$S_0$ 尚未定义，首项不能直接用作差公式。前 1 项和就是首项，故 $a_1=S_1$；其余各项用相邻和作差。
对于有穷数列，第二行还须满足 $n$ 不超过总项数；若数列只有一项，就只用第一行。
一个前 $n$ 项和公式怎样确定原数列
已知无穷数列满足此式（$n$ 为正整数）。
首项就是前 1 项和，代入 $n=1$ 即可求得。
当 $n\geqslant2$ 时，$n-1$ 也是正整数。用 $n-1$ 替换已知公式中的 $n$。
展开平方，再去掉后一项的括号。
一次项合并为 $-n$，常数项抵消。
将两个和的表达式代入作差公式。
减去整个括号，括号内两项均变号。
平方项抵消，两个 $n$ 相加得 $2n$。
作差结果适用于 $n\geqslant2$。当 $n=1$ 时，$2n=2$ 也与首项一致，因此通项公式可统一为 $a_n=2n$。
用前三项复算：$a_1=2$、$a_2=4$、$a_3=6$，累加得到 $S_1=2$、$S_2=6$、$S_3=12$，与已知公式在 $n=1,2,3$ 时的结果一致。这只是具体数值的核对；对所有正整数成立的依据，是上面的作差推导和首项验证。
核心理解
$a_n$ 记录第 $n$ 项，$S_n$ 记录前 $n$ 项的总和。对于有效的正整数序号 $n$，首项用 $a_1=S_1$；从第 2 项起，用 $a_n=S_n-S_{n-1}$。相邻累积和恰好相差当前一项，是因为共同包含的前 $n-1$ 项全部抵消；由作差得到的通项，只有与首项相符时，才能合并为覆盖所有有效序号的公式。