单利与复利
什么是单利，什么是复利
单利：利息不再产生利息
只用最初的本金计算利息，已经得到的利息不再产生利息。
复利：利息也参与下一期计息
把每期得到的利息加入本金，一起计算下一期利息。
用 100 元看清两者的区别
存入 100 元，每期利率固定为 10%，期间不存取款，也没有费用。每期利息等于参与计息的金额乘以 10%。第一期，两种方式都得到 10 元利息，期末共有 110 元；第二期的区别如下。
单利：仍按最初的 100 元计息，第二期利息也是 $100\times10\%=10$ 元。
复利：按第一期末的 110 元计息，第二期利息为 $110\times10\%=11$ 元。
单利每期增加相同金额；复利每期把上一期末金额乘以相同倍数。下面用数列写出这两种变化。
用符号表示本金、利率和期数
设本金为 $P>0$，每期利率为 $r\ge0$。$L_n$、$C_n$ 分别表示单利、复利经过 $n$ 个完整计息期后的本利和，也就是本金与利息的总额。
下标 $0$ 表示尚未计息的初始状态；$L_1,L_2,\ldots$ 与 $C_1,C_2,\ldots$ 才是按正整数编号的数列项。
以下假定利率不变、每期末计息，期间没有存入、取出或费用。期数与利率单位必须一致：年利率按年计算，月利率按月计算。
单利
每一期增加相同金额
单利只按原始本金 $P$ 计息，因此每期利息都是 $Pr$。
本期末金额等于上期末金额加上固定利息 $Pr$。
经过 $n$ 期，共增加 $n$ 次 $Pr$。
提取公因式 $P$，得到单利的计算公式。
所以 $L_1,L_2,\ldots$ 构成公差为 $Pr$ 的等差数列。已经产生的利息不参与下一期计息。
复利
每一期乘相同倍数
复利按上一期末的本利和计息。若上一期末有 $C_{n-1}$，这一期的利息就是 $rC_{n-1}$。
原有本利和加上当期利息，得到本期末金额。
提取 $C_{n-1}$，可见每期都乘 $1+r$。
从本金 $P$ 出发，经过 $n$ 期，连续乘 $n$ 次 $1+r$。
所以 $C_1,C_2,\ldots$ 构成公比为 $1+r$ 的等比数列。本期的结果就是下一期的计息基础。这里 $r\ge0$，因此公比 $1+r\ge1$。
公式检查
用公式检查开头的例子
仍取本金 100 元、每期利率 10%、经过 2 期。
单利：本金加上两期的固定利息，共 120 元。
复利：本金连续乘两次 1.1，共 121 元。
这与逐期计算一致。选择公式的依据，是利息是否参与下一期计息。
核心结论
看清每期增加的是什么
单利：固定金额
每期按原始本金计息，增加 $Pr$，对应等差结构。
复利：固定比例
每期按上一期本利和计息，乘 $1+r$，对应等比结构。
使用前先确认计息周期、利率是否固定，以及期间是否有存取款或费用。