逐月计算
先算清每个月还剩多少
上一篇讨论的是一次存入后、不再存取款时，金额怎样计息；储蓄和分期还款还要计入每期的存入、取出或偿还。本篇先算两个月的欠款，再把同样的步骤写成递推式。
借款 $10\,000$ 元，月利率 $1\%$，无其他费用，每个月末先计息、再还 $3\,000$ 元。
第一个月先计息，欠款变成 $10\,100$ 元。
月末还款后，剩余欠款为 $7\,100$ 元。
第二个月按剩余欠款计息，不再按原来的 $10\,000$ 元计息。
再次还款后，剩余欠款为 $4\,171$ 元。
每个月重复的是同一个动作：上月剩余欠款先计息，再减去本月还款。
递推表示
把同一个动作写成公式
设 $B_0$ 为初始余额，$B_k$ 为第 $k$ 期末完成收付后的余额。每期利率为 $r\ge0$，记倍率 $q=1+r$；$c_k$ 表示第 $k$ 期末收付的金额。
正负号以所记录的余额为准：存款余额增加，存入记正；尚欠金额减少，还款记负。前例中 $q=1.01$、$c_k=-3\,000$。
先把上期余额乘 $q$ 计息，再加本期收付 $c_k$。
以下各期长度相同、利率固定且无其他费用；金额单位和利率对应的周期也须一致。
第一期：初始余额计息后，加入 $c_1$。
用第一期的结果替换 $B_2=qB_1+c_2$ 中的 $B_1$。
展开括号：初始余额计息两次，$c_1$ 计息一次，$c_2$ 尚未计息。
继续代入到第 $n$ 期。每笔金额的指数，就是它到该期末经历的计息次数。
这里 $n$ 是过程实际具有的正整数期数。上式汇总的是同一时点的余额；$n=1$ 时，现金流部分只有 $c_1$。
等额收付
每期金额相同，就能用等比求和
若每期末收付都为 $c$，将各项中的 $c$ 提出来：
括号内共 $n$ 项，每笔收付按各自的计息次数乘 $q$。
当 $q\ne1$ 时，用等比数列前 $n$ 项和合并括号内的项。
没有利息时，每期只增加 $c$；不能使用分母为 $1-q$ 的公式。
其中 $q^nB_0$ 来自初始余额，其余部分来自每期收付。$n=1$ 时括号内只有 $1$。
三期还清
改问每月应该还多少
仍借 $10\,000$ 元，月利率 $1\%$，无其他费用。现在不再固定还 $3\,000$ 元，而是求每个月末等额还款 $x$，使三个月末恰好还清。
记录尚欠金额，就有 $B_0=10\,000$、$q=1.01$、$c=-x$。还清意味着 $B_3=0$。
本金计息三次；三次还款到第三个月末分别抵消 $1.01^2x$、$1.01x$、$x$。
移项，再除以三次还款的系数之和。
算得每月等额还款约为 $3\,400.22$ 元。
这是理论金额的近似值；若实际付款四舍五入到分，末期须按剩余欠款调整，才能恰好结清。
收付时点
期初收付，要先加再计息
若收付改到期初，本期金额 $c_k$ 立即参与计息；此时 $c_k$ 改指第 $k$ 期初的收付，$B_k$ 仍记录该期结束时的余额。
先收付，再计息；同一笔金额比期末收付多计息一次。
所以期初、期末不能套用同一条更新式。先确定收付时点，再写运算顺序。
核心结论
每一步都对应实际发生的动作
期末收付：$B_k=qB_{k-1}+c_k$，先计息再收付。期初收付：$B_k=q(B_{k-1}+c_k)$，先收付再计息。
正负号说明余额增减，$q$ 的幂说明计息次数；等额收付才可直接合并为等比数列求和。