数学归纳法

先证起点，再证如何从一项到下一项

把一个与正整数 $n$ 有关的命题记作 $P(n)$；它表示“当编号为 $n$ 时，要证明的那句话”。用 $n_0$ 表示开始证明的正整数，目标是所有 $n\geqslant n_0$ 都成立。

第一步：归纳奠基

直接验证起点 $n=n_0$，证明 $P(n_0)$ 成立。

第二步：归纳递推

用 $k$ 表示范围内任意一个正整数，即 $k\geqslant n_0$。暂时假设 $P(k)$ 成立，在这个条件下证明下一整数对应的命题 $P(k+1)$。

这里证明的是条件关系，不是预先认定所有 $P(k)$ 都成立。只验证一个特定的 $k$，也不能代替这一步。

起点确定，正确性就能逐个传下去

第一步已经证明 $P(n_0)$。将 $k=n_0$ 代入第二步的条件关系，就得到下一项；随后重复使用同一关系。

对任何选定的整数 $m\geqslant n_0$，从 $n_0$ 出发只需 $m-n_0$ 次递推就能到达 $m$。因此每个这样的 $m$ 都能被证明，结论覆盖所有 $n\geqslant n_0$。

证明从 1 加到 n 的求和公式

现在证明下面的等式对每个正整数 $n$ 都成立，并把这个等式记作 $P(n)$。此时起点是 $n_0=1$。

先验证 n=1

假设前 k 项的等式成立

任取正整数 $k$，暂时假设：

再证明多加一项后的等式

前 $k+1$ 项的和，比前 $k$ 项的和多出一项 $k+1$。先写出目标左边，再利用刚才的归纳假设。

最后的式子正是把原公式中的 $n$ 换成 $k+1$ 得到的右边。因此，假如 $P(k)$ 成立，就能推出 $P(k+1)$ 成立。

起点 $P(1)$ 已验证，递推关系也已证明，所以求和公式对所有正整数 $n$ 成立。

只有起点，或只有传递，都不够

有传递，却没有正确的起点

若要证明“所有正整数都满足 $n\geqslant2$”，确实有：只要 $k\geqslant2$，就有 $k+1\geqslant2$。但起点 $n=1$ 不成立，所以不能得出覆盖全部正整数的结论。

有起点，却没有传递

命题“$n=1$”在 $n=1$ 时成立，却在 $n=2$ 时不成立。仅仅验证起点，不能保证后面也正确。

奠基负责启动，递推负责延续。两步不能互相代替。

假设只能用前一项，不能偷用结论

1. 目标写对：把原命题里的每个 $n$ 换成 $k+1$，得到要证明的 $P(k+1)$。
2. 假设用对：可以使用 $P(k)$，不能把尚未证明的 $P(k+1)$ 当成已知，否则就是循环论证。
3. 范围对应：从 $n_0=2$ 开始，只能覆盖 $n\geqslant2$，不能自动补出 $n=1$。

若过程没有使用归纳假设，要检查是否已经直接证明了任意 $k$ 对应的 $P(k+1)$。若没有，就还未建立从前一项到后一项的联系。

用起点与传递，覆盖全部后续整数