向量的加法与减法

加法：首尾相接，连接起点与终点

先从 $A$ 移到 $B$，再从 $B$ 移到 $C$，总效果就是从 $A$ 移到 $C$。因此规定

$\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{BC}$ 表示两次连续位移，它们的和 $\overrightarrow{AC}$ 表示从 $A$ 到 $C$ 的总位移。这就是三角形法则：把第二个向量的起点接到第一个向量的终点，和向量从第一个起点指向最后一个终点。多个向量相加时，也依次首尾相接。

向量有大小也有方向，所以一般不能直接把两个模相加。两个非零向量同向时，和的模才等于模的和；反向时，和的模是两者模之差的绝对值，模不等时方向与较长的向量相同，模相等时和为零向量。

共同起点：用平行四边形求和

把两个不共线向量放到共同起点 $O$，取 $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$、$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$，以它们为邻边作平行四边形 $OACB$。对边等长同向，所以 $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OB}=\vec{b}$。沿 $O\to A\to C$ 使用三角形法则，得到

因此，从共同起点指向对角顶点的对角线表示和向量。这就是平行四边形法则：只是把第二个向量平移到一条对边上，和没有改变。两个向量共线时，平行四边形退化，仍可按首尾相接求和。

减法：加上相反向量

减去 $\vec{b}$，就是加上它的相反向量：

当 $\vec{b}$ 非零时，$-\vec{b}$ 与它等长反向；零向量的相反向量仍是零向量。因此，减法也可以按三角形法则作图。

另一种画法更直接。把 $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$、$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ 放在共同起点，从 $O$ 到 $B$ 再到 $A$，得到

这说明在 $\vec{b}$ 后面补上 $\overrightarrow{BA}$，恰好得到 $\vec{a}$，所以

共同起点作图时，差向量从减数 $\vec{b}$ 的终点指向被减数 $\vec{a}$ 的终点。把方向画反，就成了 $\vec{b}-\vec{a}$；两者互为相反向量，减法一般不能交换次序。

同样，由 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}$ 可知

表示从 $A$ 到 $B$ 的向量时，先写终点 $B$ 的位置向量，再减去起点 $A$ 的位置向量，这就是“终点减起点”。

零向量与加法运算律

零向量不改变原来的位移，相反向量使位移抵消，因此

结合减法的定义，便有 $\vec{a}-\vec{a}=\mathbf0$、$\vec{a}-\mathbf0=\vec{a}$、$\mathbf0-\vec{a}=-\vec{a}$，分别表示完全抵消、减去零不变、得到相反向量。

平行四边形中，沿 $O\to A\to C$ 或 $O\to B\to C$ 都从 $O$ 到 $C$，所以加法满足交换律：

共线或含零向量时，交换次序也不改变总位移。三个向量依次首尾相接，无论先合成哪两个相邻向量，总起点与总终点不变，所以加法满足结合律：

核心结论