向量的数量积

数量积同时考虑大小与方向

物体沿水平方向移动，同样大小的力，沿移动方向推、斜着推、垂直于移动方向用力，做的功并不一样。计算这个力的功时，要看力在移动方向上的分量，再乘移动距离。

例如，一个恒力与直线位移同向，力为 $10\ \mathrm N$、位移大小为 $2\ \mathrm m$，做功为 $20\ \mathrm J$。若力与位移垂直，这个力做功为零；若两者反向，则做负功。

因此，只把两个向量的模相乘还不够，还要把方向关系算进去。数量积正是把这两项信息合成一个数的运算。

数量积怎样定义

把两个非零向量 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 平移到同一起点，取它们之间 $0^\circ$ 到 $180^\circ$ 的夹角 $\theta$。其中 $|\vec{a}|$、$|\vec{b}|$ 分别是两个向量的模，也就是大小。

从 $\vec{a}$ 的终点向 $\vec{b}$ 所在直线作垂线。夹角为锐角时，起点到垂足的距离是 $|\vec{a}|\cos\theta$，它表示 $\vec{a}$ 沿 $\vec{b}$ 方向的那一部分大小，称为投影数量。夹角为直角时它为零；钝角时垂足落在反向一侧，投影数量取负值。

将投影数量再乘 $|\vec{b}|$，定义为两个向量的数量积，记作 $\vec{a}\cdot\vec{b}$：

两个模给出大小因素，$\cos\theta$ 给出方向因素。结果是实数，不是向量；这与“一个数乘向量”的数乘不同。另规定零向量与任意向量的数量积为 $0$，无需定义零向量的夹角。

例如，$|\vec{a}|=3$、$|\vec{b}|=4$、$\theta=60^\circ$ 时，

这里的 $\dfrac12$ 来自 $\cos60^\circ$。若只算 $3\times4$，就漏掉了夹角的影响。

计算功、判断垂直与求夹角

计算恒力沿直线位移做的功时，取力向量 $\vec{F}$ 和位移向量 $\vec{s}$，就有

这正是“力沿位移方向的分量乘位移大小”。力用牛顿、位移用米时，功的单位为焦耳。

判断方向关系时，对两个非零向量，模的乘积为正，所以数量积的符号由 $\cos\theta$ 决定：正值对应夹角小于 $90^\circ$，零对应 $90^\circ$，负值对应夹角大于 $90^\circ$。特别地，

这里必须限定两个向量非零，不能仅凭一个向量是零向量就判定垂直。已知数量积和两个非零向量的模，还能由定义求夹角：

向量与自身的夹角为零，所以 $\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2$，进而 $|\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}$；零向量也满足这两个等式。

常用运算规则

数量积可以交换次序：

交换两个向量不改变模的乘积和夹角。实数系数可以提出：

向量的有符号投影随数乘同比变化，因此正、负、零系数都适用。数量积也满足分配律：

这是因为沿同一方向的投影数量可以相加。但数量积不照搬普通乘法的结合律：$\vec{a}\cdot\vec{b}$ 已经是数，不能继续把它当成向量与第三个向量作数量积。

核心结论