向量的数乘

模就是向量的大小

向量 $\vec{a}$ 的大小叫作模，记作 $|\vec{a}|$，图中用有向线段的长度表示。

例如，$\vec{a}$ 表示向东移动 $3\ \mathrm m$，那么 $|\vec{a}|=3\ \mathrm m$。向量包含大小和方向，模只表示大小。模总是不小于零，只有零向量的模为零。

绝对值决定模，正负决定方向

实数 $\lambda$ 与向量 $\vec{a}$ 的积记作 $\lambda\vec{a}$，规定

这里 $|\lambda|$ 是实数的绝对值，表示模变为原来的多少倍。对非零向量，乘正数方向不变，乘负数方向相反；乘零得到零向量。零向量乘任何实数仍是零向量。

例如，$2\vec{a}$ 同向、两倍长；$\dfrac12\vec{a}$ 同向、一半长；$-\vec{a}$ 等长反向，就是 $\vec{a}$ 的相反向量。

运算律沿用熟悉的形式

数乘的结合律、分配律与实数运算的形式相同。$\lambda$、$\mu$ 是实数，$\vec{a}$、$\vec{b}$ 是向量：

连续数乘，把系数相乘。

同一向量的倍数相加，可以合并系数，例如 $2\vec{a}+3\vec{a}=5\vec{a}$。

数乘可以分配到每个向量，例如 $2(\vec{a}-\vec{b})=2\vec{a}-2\vec{b}$。这里始终是数乘向量，不能把它当成两个向量相乘。

共线就是倍数关系

两个非零向量同向或反向，称为共线向量，也叫平行向量；不要求它们原来画在同一条直线上。约定零向量与任意向量共线。

固定 $\vec{a}\ne\mathbf0$，与它共线的向量都能唯一写成

$\vec{b}$ 非零时，系数的绝对值是模的比值 $\dfrac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$，同向取正、反向取负；$\vec{b}=\mathbf0$ 时取 $\lambda=0$。例如，反向且两倍长，就是 $\vec{b}=-2\vec{a}$。

核心结论