平面向量基本定理

基底提供两个不共线的方向

设 $\vec{e}_1$、$\vec{e}_2$ 不共线，它们就构成平面的一组基底。基底可以理解为表示其他向量所用的两个固定参照向量。

这两个向量不必垂直，也不必一样长，但一定不能共线。若共线，无论怎样伸缩、相加，结果仍沿同一条直线，无法表示其他方向的向量。

平面向量基本定理说：对任意平面向量 $\vec{a}$，存在唯一一对实数 $\lambda_1,\lambda_2$，使

两个系数分别表示各参照向量取多少倍；负数表示反向，零表示不需要这一方向的分量。

用平行四边形分解向量

把三个向量放到共同起点 $O$，记 $\vec{a}=\overrightarrow{OP}$。过 $P$ 分别作平行于 $\vec{e}_2$、$\vec{e}_1$ 的直线，与 $\vec{e}_1$、$\vec{e}_2$ 所在直线交于 $M,N$，组成平行四边形 $OMPN$。于是

其中 $\overrightarrow{OM}$ 与 $\vec{e}_1$ 共线，$\overrightarrow{ON}$ 与 $\vec{e}_2$ 共线，分别可以写成它们的实数倍。代入便得到基本定理中的表示。

图中若 $\overrightarrow{OM}=2\vec{e}_1$、$\overrightarrow{ON}=\vec{e}_2$，就有 $\vec{a}=2\vec{e}_1+\vec{e}_2$。若目标向量沿某一个基底方向，另一个系数就是零；零向量对应两个系数都为零。

为什么系数只能有一组

两个基底方向固定后，过 $P$ 作的两条平行线及交点 $M,N$ 都唯一，因此两个分量和它们的倍数唯一。

也可以用运算说明。假设两组系数表示同一个向量，相减并移项得到

若这个公共向量非零，就意味着两个基底向量共线，与条件矛盾。因此两侧只能都是零向量。基底向量非零，所以 $\lambda_1=\mu_1$、$\lambda_2=\mu_2$。

基底固定，才能比较系数

在同一组基底下，若 $x\vec{e}_1+y\vec{e}_2=2\vec{e}_1-\vec{e}_2$，由唯一性直接得到 $x=2$、$y=-1$。

换一组基底，系数可能改变。例如把第一个基底向量换成 $2\vec{e}_1$，原来的 $2\vec{e}_1+\vec{e}_2$ 就只需要新基底各一倍。

核心结论