向量线性运算的坐标表示

加减法：对应坐标相加减

以下都在同一平面直角坐标系中。取沿 $x$ 轴、$y$ 轴正方向、模为 $1$ 的单位向量分别为 $\vec{i}$、$\vec{j}$。向量的两个坐标，就是它在这两个方向上的分解系数。设 $\vec{a}=(x_1,y_1)$、$\vec{b}=(x_2,y_2)$，即

把同一基底方向上的项合并，得到

两个分解系数就是和向量的坐标，所以

减法就是加上相反向量。$-\vec{b}$ 的两个坐标都变号，因此

例如，$(2,-1)+(1,3)=(3,2)$；$(2,-1)-(1,3)=(1,-4)$。水平与水平相加减，竖直与竖直相加减，不交叉计算。

数乘：两个坐标同时乘系数

由数乘分配律，

两个系数都乘了 $\lambda$，所以

例如，$-2(2,-1)=(-4,2)$。负号和倍数同时作用于两个坐标；乘零得到 $(0,0)$。

两点间向量：终点减起点

设 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$。由上一章的减法关系，

分别用终点与起点的坐标相减，得到

例如，$A(1,1)$、$B(4,3)$，则 $\overrightarrow{AB}=(3,2)$：从 $A$ 向右移动 $3$、向上移动 $2$ 到达 $B$。顺序反过来，$\overrightarrow{BA}=(-3,-2)$。

共线：检查两个坐标是否成同一倍数

若 $\vec{b}\ne\mathbf0$，共线等价于存在实数 $\lambda$，使 $\vec{a}=\lambda\vec{b}$。用坐标表示，就是同时满足 $x_1=\lambda x_2$、$y_1=\lambda y_2$，从而有

反过来，若上式成立：当 $x_2\ne0$ 时，取 $\lambda=\dfrac{x_1}{x_2}$，可得 $y_1=\lambda y_2$；当 $x_2=0$ 时，$y_2\ne0$，上式迫使 $x_1=0$，取 $\lambda=\dfrac{y_1}{y_2}$ 即可。因此这是共线的坐标条件，不必冒险除以可能为零的坐标。

例如，$(2,4)$ 与 $(1,2)$ 满足 $2\times2-4\times1=0$，所以共线；$(2,4)$ 与 $(1,3)$ 的结果为 $2$，所以不共线。若其中一个是零向量，上式也成立，与零向量和任意向量共线的约定一致。

核心结论