平面几何中的向量方法

从共同起点表示向量

在三角形 $ABC$ 中，取 $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$、$\vec{b}=\overrightarrow{AC}$。它们不共线，可以作为表示图中其他向量的基底。

例如，从 $B$ 到 $C$ 的向量可以用终点的位置向量减去起点的位置向量：

$$ \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}. $$

这样，点之间的连接关系就变成了向量的加减关系。若要说明两条线段平行，就看对应的非零向量是否成倍数；若要说明垂直，就看它们的数量积是否为零。

设 $M,N$ 分别是 $AB,AC$ 的中点。中点把边分成等长的两段，且从 $A$ 出发方向不变，所以

$$ \overrightarrow{AM}=\dfrac12\vec{a},\qquad \overrightarrow{AN}=\dfrac12\vec{b}. $$

求 $\overrightarrow{MN}$，仍用终点减起点：

$$ \overrightarrow{MN} =\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM} =\dfrac12\vec{b}-\dfrac12\vec{a}. $$

提取共同系数，再用 $\overrightarrow{BC}=\vec{b}-\vec{a}$ 替换括号，得到

$$ \overrightarrow{MN}=\dfrac12(\vec{b}-\vec{a}) =\dfrac12\overrightarrow{BC}. $$

系数为正，说明两个非零向量同向；系数为 $\dfrac12$，说明前者的模是后者的一半。因此 $MN\parallel BC$，并且 $MN=\dfrac12 BC$：三角形的中位线平行于第三边，且长度是第三边的一半。

$M,N$ 分别是两边中点；紫色箭头表示 $\overrightarrow{MN}$ 与 $\overrightarrow{BC}$，前者同向、半长。

设 $ABCD$ 是菱形，顶点按顺序排列。取 $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$、$\vec{b}=\overrightarrow{AD}$；邻边等长，所以 $|\vec{a}|=|\vec{b}|$。

菱形也是平行四边形。由加法与减法，两条对角线可表示为

$$ \overrightarrow{AC}=\vec{a}+\vec{b},\qquad \overrightarrow{BD}=\vec{b}-\vec{a}. $$

要说明对角线垂直，就计算这两个向量的数量积。代入并用分配律展开：

$$ \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD} =\vec{a}\cdot\vec{b}-\vec{a}\cdot\vec{a} +\vec{b}\cdot\vec{b}-\vec{b}\cdot\vec{a}. $$

由交换律，第一项与最后一项抵消；向量与自身的数量积等于模的平方，因此

$$ \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD} =|\vec{b}|^2-|\vec{a}|^2=0. $$

最后一步用了菱形邻边等长的条件。两条对角线都非零，数量积为零就说明 $AC\perp BD$，即菱形的两条对角线互相垂直。

紫色表示 $\overrightarrow{AC}$，蓝色表示 $\overrightarrow{BD}$；邻边等长使两个模的平方相减为零，从而得到对角线垂直。

先选共同起点，把有关向量用同一组基底表示，再根据目标选择运算：倍数关系说明平行与长度比例，数量积为零说明两个非零向量垂直。

计算结束后，要把等式翻译回线段之间的关系；这样才真正回答了原来的几何问题。