从一个无实数解的方程出发
考虑方程
$$
x^2+1=0.
$$
若 $x$ 是实数，则 $x^2\ge0$，从而 $x^2+1\ge1$，所以等式不可能成立。为了在更大的数系中表示它的解，引入一个新数 $i$，规定
$$
i^2=-1.
$$
这个数叫作虚数单位。于是 $i$ 和 $-i$ 的平方都等于 $-1$，方程在扩充后的数系中有两个解 $x=\pm i$。
复数由两个实系数确定
把实数 $a$ 与实数 $b$ 乘 $i$ 的结果相加，得到
$$
z=a+bi,\qquad a,b\in\mathbb R.
$$
这样的数叫作复数，$a$ 叫作复数 $z$ 的实部，$b$ 叫作虚部。虚部是实数 $b$，不是 $bi$；$bi$ 是复数代数形式中的含 $i$ 项。全体复数组成复数集，记作 $\mathbb C$。
当 $b=0$ 时，$z=a+0i=a$，所以每个实数都是复数，实数集是复数集的子集。数系扩充没有丢掉原来的实数，只是加入了实部、虚部可以独立变化的新数。
实数、虚数与纯虚数的边界
对复数 $z=a+bi$，分类完全由实系数 $a,b$ 决定：
- 当 $b=0$ 时，$z$ 是实数；
- 当 $b\ne0$ 时，$z$ 是虚数；
- 当 $a=0$ 且 $b\ne0$ 时，$z=bi$ 是纯虚数。
因此纯虚数一定是虚数，但虚数不一定是纯虚数。例如 $2i$ 是纯虚数，$3+2i$ 是虚数但不是纯虚数。复数 $0=0+0i$ 的虚部为 $0$，它是实数，不是纯虚数；纯虚数定义中的 $b\ne0$ 不能省略。
两个复数何时相等
复数的实部与虚部分别确定。若 $a,b,c,d\in\mathbb R$，那么
$$
a+bi=c+di
\quad\Longleftrightarrow\quad
a=c\ \text{且}\ b=d.
$$
也就是说，判断复数相等必须同时比较实部和虚部。例如 $x+(y-1)i=2+3i$ 时，实部相等给出 $x=2$，虚部相等给出 $y-1=3$，所以 $y=4$。只比较其中一部分，不能确定两个复数相等。
核心结论
引入满足 $i^2=-1$ 的虚数单位后，每个复数都写成 $a+bi$。实部是 $a$，虚部是实数 $b$，不是 $bi$。
虚部为零的是实数；虚部非零的是虚数，其中实部为零的才是纯虚数。两个复数相等，要求实部、虚部分别相等。