三角形式下的复数乘除

乘法：展开后合并角度

设两个非零复数为 $z_1=r_1(\cos\alpha+i\sin\alpha)$、$z_2=r_2(\cos\beta+i\sin\beta)$，其中 $r_1,r_2>0$。

把两个括号相乘，用 $i^2=-1$ 合并。除去公共因子 $r_1r_2$ 后，实部是 $\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$，虚部是 $\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$。

由两角和公式，这两部分分别等于 $\cos(\alpha+\beta)$ 和 $\sin(\alpha+\beta)$，因此

这就是乘积的三角形式：模是 $r_1r_2$，$\alpha+\beta$ 是一个辐角。固定乘数 $z_2$，相当于把原向量长度变为 $r_2$ 倍，再旋转 $\beta$。

除法：先看倒数的模与方向

除以 $z_2$ 就是乘它的倒数。分子、分母同乘方向部分的共轭，分母利用 $\cos^2\beta+\sin^2\beta=1$ 化简，得到

余弦是偶函数，正弦是奇函数，所以括号也可写成 $\cos(-\beta)+i\sin(-\beta)$。倒数的模是 $\dfrac1{r_2}$，一个辐角是 $-\beta$。

再与 $z_1$ 相乘，使用刚得到的乘法规则：

所以商的模是 $\dfrac{r_1}{r_2}$，$\alpha-\beta$ 是一个辐角。几何上，这是把长度变为原来的 $\dfrac1{r_2}$，再旋转 $-\beta$。

分别计算模与角度

设 $z_1$ 的模为 $\dfrac32$、一个辐角为 $\dfrac\pi6$，$z_2$ 的模为 $2$、一个辐角为 $\dfrac\pi3$。

相乘时，模为 $\dfrac32\times2=3$，辐角为 $\dfrac\pi6+\dfrac\pi3=\dfrac\pi2$。代入正弦、余弦值：

相除时，模为 $\dfrac32\div2=\dfrac34$，辐角为 $\dfrac\pi6-\dfrac\pi3=-\dfrac\pi6$。利用 $\cos(-\dfrac\pi6)=\dfrac{\sqrt3}{2}$、$\sin(-\dfrac\pi6)=-\dfrac12$，得到

若要求 $[0,2\pi)$ 内的辐角主值，商的角度要加上 $2\pi$，写成 $\dfrac{11\pi}{6}$。一般地，加减得到的角未必是主值，但加减整数个整周就能回到规定区间。

核心结论