乘正实数：沿原方向伸缩
设 $z=a+bi$，对应向量 $(a,b)$。乘正实数 $c$，用分配律得到
$$
cz=ca+cbi.
$$
它对应的向量是 $(ca,cb)$，正是原向量的 $c$ 倍。因此，当 $z\ne0$ 时，方向不变，模变为原来的 $c$ 倍：
$$
|cz|=c|z|.
$$
例如，$2(2+i)=4+2i$，对应向量从 $(2,1)$ 变成 $(4,2)$：同向、两倍长。乘 $\dfrac12$ 则同向、一半长。
乘 $i$：逆时针旋转 $90^\circ$
先展开，再把 $i^2$ 换成 $-1$：
$$
iz=i(a+bi)=ai+bi^2=-b+ai.
$$
所以坐标从 $(a,b)$ 变成 $(-b,a)$。新向量的模是 $\sqrt{b^2+a^2}$，与原来相同。
为什么是逆时针旋转 $90^\circ$？看两个坐标方向：向右的 $(1,0)$ 旋转后变成向上的 $(0,1)$；向上的 $(0,1)$ 旋转后变成向左的 $(-1,0)$。因此，原向量的水平、竖直分量分别旋转后，合成
$$
a(0,1)+b(-1,0)=(-b,a).
$$
这正是乘 $i$ 得到的坐标。所以对非零复数，乘 $i$ 保持模不变，并逆时针旋转 $90^\circ$，也就是 $\dfrac\pi2$。
例如，$i(2+i)=-1+2i$，对应向量从 $(2,1)$ 变成 $(-1,2)$。
连续乘 $i$：每次再转四分之一周
因为 $i^2=-1$、$i^3=-i$、$i^4=1$，连续乘 $i$ 的结果可以直接读成旋转：
| 乘数 | 对非零复数的作用 |
|---|---|
| $i$ | 逆时针旋转 $90^\circ$ |
| $-1$ | 旋转 $180^\circ$ |
| $-i$ | 顺时针旋转 $90^\circ$ |
| $1$ | 回到原位置 |
这些变化都不改变模。若 $z=0$，乘上述任何数仍为 $0$；原点没有确定方向，不讨论它转过了多少角度。
核心结论
对非零复数，乘正实数让模成倍变化、方向不变；乘 $i$ 让模不变、方向逆时针转过 $90^\circ$。
这两种作用分别是伸缩与旋转。零复数在这些运算下仍是零，不赋予它方向。