高中数学 · F 模块

平面向量、复数与代数表示

先用大小和方向描述平面向量，再用坐标把向量运算写成数的运算；随后把平面上的点和向量对应到复数，理解复数的表示与运算。

平面向量的基本性质与运算

从基本性质到向量运算

先认识向量的大小、方向与表示，再理解加减法、数乘和数量积。

  1. 01向量的基本性质认识大小与方向，学会用有向线段表示向量，并判断零、相等和相反。
  2. 02向量的加法与减法用三角形、平行四边形法则求和，再用相反向量理解减法。
  3. 03向量的数乘分清系数的绝对值、符号与零的特殊情形，再刻画共线。
  4. 04向量的数量积用模、夹角和有符号投影理解数量积，并判断垂直。

平面向量的坐标表示与几何应用

从向量表示到几何应用

先理解两个不共线向量为什么能表示平面内任意向量，再用坐标完成运算，最后用向量说明几何中的平行、长度与垂直关系。

  1. 05平面向量基本定理理解基底、不共线和唯一线性表示。
  2. 06正交分解与向量坐标从正交基底建立向量坐标，并联系点与位置向量。
  3. 07向量线性运算的坐标表示用坐标完成加、减、数乘和共线判断。
  4. 08数量积的坐标表示用坐标求模、夹角、距离，并判断垂直。
  5. 09平面几何中的向量方法用中位线与菱形对角线，理解从向量运算回到几何结论。

复数的概念与几何意义

把平面上的位置重新写成数

从实数范围内无解的方程出发，引入虚数单位；再用复平面连接复数、点和向量。

  1. 10数系扩充与复数认识虚数单位、代数形式、实部虚部与复数相等。
  2. 11复数的几何意义用复平面理解模、共轭复数及其对称关系。

复数的四则运算

让代数运算保留平面意义

先掌握加减与乘除的代数规则，再看它们和向量、共轭及实系数二次方程的联系。

  1. 12复数加减及其几何意义把复数加减与平面向量的加减对应起来。
  2. 13复数乘法与 i 的幂按多项式规则运算，并利用 i2 = −1 化简。
  3. 14复数除法与共轭复数利用共轭复数把分母化为实数。
  4. 15复数范围内的一元二次方程理解判别式小于零时共轭复根如何出现。

复数的三角表示〔选学〕

从特殊旋转走向一般乘除

这一组是选学内容：先从乘以正实数和 i 看见伸缩、旋转，再学习复数的三角形式及其乘除法。

  1. 16特殊复数乘法的伸缩与旋转从乘以正实数和 i 看见模与方向怎样改变。选学
  2. 17复数的三角表示用模与辐角把代数形式改写为三角形式。选学
  3. 18三角形式下的复数乘除理解模相乘或相除、辐角相加或相减。选学