题库练习

25．定义：若二次根式$a+2\sqrt{b}$可以表示成$(\sqrt{m}+\sqrt{n})^2$的形式（其中$a$为整数，$b$为非负整数且不是完全平方数，$m,n$为非负整数），则称$a+2\sqrt{b}$为完整根式，$\sqrt{m}+\sqrt{n}$是$a+2\sqrt{b}$的完整平方根．例如：因为$5+2\sqrt{6}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$，所以$5+2\sqrt{6}$是一个完整根式，$\sqrt{3}+\sqrt{2}$是$5+2\sqrt{6}$的完整平方根．

(1)判断：$\sqrt{5}+\sqrt{3}$是否是完整根式$8+2\sqrt{15}$的完整平方根，并说明理由；

(2)若完整根式$a+2\sqrt{b}$的完整平方根是$\sqrt{m}+\sqrt{n}$，请用含$m$，$n$的代数式分别表示$a$，$b$；

(3)若$a+2\sqrt{b}$是完整根式，证明：$a^2-4b$一定是完全平方数．