题库练习

（14 分）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫作这个三角形的完美分割线。

（1）如图 1，在 $\triangle ABC$ 中，$CD$ 平分 $\angle ACB$ 交 $AB$ 于点 $D$，$\angle A=40^\circ,\angle B=60^\circ$。求证：$CD$ 为 $\triangle ABC$ 的完美分割线。

（2）在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A=48^\circ$，$CD$ 是 $\triangle ABC$ 的完美分割线，且 $\triangle ACD$ 为等腰三角形，求 $\angle ACB$ 的度数。

（3）如图 2，在 $\triangle ABC$ 中，$AC=2,BC=\sqrt2$，$CD$ 是 $\triangle ABC$ 的完美分割线，且 $\triangle ACD$ 是以 $CD$ 为底边的等腰三角形。求完美分割线 $CD$ 的长。