题库练习

（15 分）如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB=5\,\mathrm{cm},BC=6\,\mathrm{cm}$，动点 $P$ 从点 $A$ 开始沿边 $AB$ 向点 $B$ 以 $1\,\mathrm{cm/s}$ 的速度移动，动点 $Q$ 同时从点 $B$ 开始沿边 $BC$ 向点 $C$ 以 $2\,\mathrm{cm/s}$ 的速度移动，当动点 $Q$ 运动到点 $C$ 时，两点停止运动，设运动时间为 $t$ 秒（$t>0$）。 （1）当 $t$ 为何值时，点 $B$ 在 $PQ$ 的垂直平分线上？ （2）连接 $PC$，是否存在 $t$ 的值，使得 $\triangle PQC$ 的面积等于 $6\,\mathrm{cm}^2$？若存在，请求出此时 $t$ 的值；若不存在，请说明理由。 （3）是否存在 $t$ 的值，使得 $\triangle BPQ$ 的面积与五边形 $APQCD$ 的面积之比等于 $2:13$？若存在，请求出此时 $t$ 的值；若不存在，请说明理由。

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