02-1 乘法公式与因式分解

完全平方与平方差：
从展开到分解

本节依次推出和的平方、差的平方与平方差公式的拆解过程，再用面积图看清公式结构。

面积图中取 $a>b>0$，只是为了方便画图；三条公式本身在 $a$、$b$ 取任意实数时都成立。

和的平方

和的平方

平方表示两个相同的因式相乘。

公式拆解
$$(a+b)^{2} = (a+b)(a+b)$$

把平方写成两个相同括号相乘。

$$(a+b)(a+b) = a^{2} + ab + ab + b^{2}$$

逐项相乘，出现两块相同的 $ab$。

$$a^{2} + ab + ab + b^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$$

两个 $ab$ 合并为 $2ab$。

图像拆解
和的平方面积图 边长为 a 加 b 的正方形分成一块 a 平方、两块 ab 和一块 b 平方，四块面积相加得到和的平方公式。 a+b a+b a² ab ab b² a b a b
边长为 $a+b$ 的正方形的面积

一块蓝色正方形、两块棕色长方形和一块绿色正方形正好拼满整个正方形。

蓝色正方形：面积为 $a^{2}$
两块棕色长方形：每块面积为 $ab$
绿色正方形：面积为 $b^{2}$
$$(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$$

差的平方

差的平方

负号也要参与两个括号之间的相乘。

公式拆解
$$(a-b)^{2} = (a-b)(a-b)$$

差的平方仍然是两个相同括号相乘。

$$(a-b)(a-b) = a^{2} - ab - ab + b^{2}$$

两个交叉项都是负的，最后一项仍是 $+b^{2}$。

$$a^{2} - ab - ab + b^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$$

两个负的 $ab$ 合并为 $-2ab$。

图像拆解
差的平方面积图 外层正方形边长为 a。横向和纵向各减去宽 b 的部分后，剩余正方形的边长为 a 减 b。 a a (a-b)² ab ab +b² a-b b a-b b
边长从 $a$ 变为 $a-b$

大正方形的边长是 $a$。横向和纵向各减去宽 $b$ 的部分后，蓝色正方形的两条边都变为 $a-b$，面积就是 $(a-b)^{2}$。

原正方形：边长为 $a$，面积为 $a^{2}$
横向、纵向各减去一块面积为 $ab$ 的部分
右下角的 $b^{2}$ 被减去两次，因此加回一次
$$(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$$

平方差

平方差

一和一差两个括号相乘时，混合项正好抵消。

公式拆解
$$(a+b)(a-b)$$

两个括号的第一项相同，第二项互为相反数。

$$(a+b)(a-b) = a^{2} - ab + ab - b^{2}$$

展开后出现 $-ab$ 和 $+ab$。

$$a^{2} - ab + ab - b^{2} = a^{2} - b^{2}$$

两个混合项抵消，只留下两个平方的差。

图像拆解
平方差面积重排图 从大正方形挖去小正方形后，把剩余的 L 形重排成长和宽分别为 a 加 b、a 减 b 的长方形。内部虚线只表示拼接位置，外框表示整个长方形。 a²-b² b² a a a+b a-b (a+b)(a-b)
重排前后面积保持不变

左边挖去 $b^{2}$，右边把剩余部分重排成长方形，虚线只标出拼接位置。整个长方形长为 $a+b$，宽为 $a-b$，面积没有改变。

左边面积是 $a^{2}-b^{2}$
右边长方形：长为 $a+b$，宽为 $a-b$
$$a^{2} - b^{2} = (a+b)(a-b)$$

公式辨认

三个公式怎样区分

$a$、$b$ 表示两个整体

公式中的 $a$、$b$ 表示两个整体。每个整体可以是一个数、一个字母，也可以是一个完整的代数式。辨认公式时，先找出这两个整体，再按照对应的结构展开或分解。

例如，在 $(x+2y)^{2}$ 中，两个整体分别是 $x$ 和 $2y$。把它们依次看作 $a$、$b$，就能展开为 $x^{2} + 4xy + 4y^{2}$。

看到的结构应该怎样变形
$(a+b)^2$展开为 $a^{2} + 2ab + b^{2}$
$(a-b)^2$展开为 $a^{2} - 2ab + b^{2}$
$a^2-b^2$分解为 $(a+b)(a-b)$
整体平方不能分别平方

$\begin{aligned} (a+b)^{2} \ne a^{2} + b^{2} \end{aligned}$，右边漏掉了两次交叉相乘。

差的平方不是平方差

$\begin{aligned} (a-b)^{2} \ne a^{2} - b^{2} \end{aligned}$，两个式子的结构不同。

核心结论

核心结论

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$

完全平方来自两个相同括号相乘；平方差来自一和一差两个括号相乘时，混合项相互抵消。

使用公式时，先看清对象，再决定是展开还是分解。