集合的表示

列举法：把元素逐一写出

集合已经确定后，第一种表示思路是直接回答“其中具体有哪些元素”。

设集合 $B$ 由所有大于 $10$ 且小于 $20$ 的整数组成。先限定研究对象是整数，再逐一找出满足两个大小条件的数，得到 $11$ 到 $19$ 这九个整数。

花括号内写出了全部九个元素：没有遗漏满足条件的整数，也没有加入不满足条件的数。因此，这不是“列举几个例子”，而是把集合 $B$ 的元素完整写出。

为了看清“逐一写出”为什么必须完整，下面把原来的研究范围、判断条件和最终元素排成一条筛选路径。重点检查结果中是否正好保留了所有满足条件的整数。

元素的书写顺序可以改变；同一个元素即使重复书写，也不会产生新的元素。

描述法：写清范围与共同特征

如果元素不便逐一列出，或者共同特征更能说明集合的结构，就要换一种方式确定全部元素。

这里，$x$ 是代表元素，$D$ 限定 $x$ 的取值范围，$P(x)$ 是筛选元素的条件：在范围 $D$ 中，满足 $P(x)$ 的对象恰好是这个集合的全部元素。竖线“$\mid$”可以理解为“满足”。代表元素 $x$ 只是描述任意元素所用的符号，并不是额外加入集合的一个对象。

下面把描述式的三个部分拆开，检查代表元素、取值范围和共同特征是否都写完整。

结构图揭示的是描述法的边界：只写共同特征还不够，取值范围同样参与确定元素；而代表元素只是贯穿范围与条件的同一个符号。

同一集合可以有不同表示

把描述法用于前面的集合 $B$，需要同时写出整数范围，以及大于 $10$ 且小于 $20$ 这一共同特征。

这个描述式中，$x$ 的取值范围是整数集 $\mathbb Z$，并且 $x$ 必须满足 $10<x<20$。它与列举式是否表示同一集合，不能只凭写法看起来合理来判断。

下面从两个方向核对：先检查列举式中的元素是否全都满足条件，再检查满足条件的整数是否全都已经列出。

确认两种写法表示同一集合后，接下来再看什么情况下适合选择列举法或描述法。

方法选择：以准确、不遗漏为准

选择列举法还是描述法，要看哪一种能更清楚、准确且不遗漏地确定全部元素。

不能只凭元素个数机械选择方法：有限集也可以使用描述法，无限集也可能有直观的排列规律。无论选择哪一种，最终都要检查它是否准确确定了原集合。

描述条件不能丢掉研究范围

表示集合 $B$ 时，整数范围是原集合边界的一部分。完整的描述式写成

式中的 $x\in\mathbb Z$ 明确排除了非整数。若在上下文没有说明 $x$ 是整数时，只写

这个式子不能排除大于 $10$ 且小于 $20$ 的非整数，因而不能准确表示原来的集合 $B$。描述法要先确定代表元素，再同时保留取值范围和共同特征。

核心理解：表示不同，元素必须相同