集合的包含、相等与空集

包含关系：一个集合的元素是否都在另一个集合中

比较两个集合时，先从一个方向检查：集合 $A$ 中的元素是否全部出现在集合 $B$ 中。

“每一个”是子集定义的关键。换成元素语言，对于任意对象 $x$，只要 $x\in A$，就必须有 $x\in B$。这个要求可以写成

推出关系必须对 $A$ 的全部元素成立。只找到几个同时属于 $A$ 和 $B$ 的元素，仍不能证明 $A\subseteq B$；相反，只要找到一个 $x\in A$ 但 $x\notin B$，就能否定这个包含关系。

如果 $A$ 不是 $B$ 的子集，记作 $A\nsubseteq B$。这表示 $A$ 中至少有一个元素不属于 $B$。

下面把“证明包含”和“否定包含”并排，是为了看清两种判断所需的证据不同：前者必须覆盖 $A$ 的全部元素，后者只需要一个反例。

要证明 $A\subseteq B$ 对每一个 $x\in A$，都能确认 $x\in B$。 检查全部

要否定 $A\subseteq B$ 找到一个 $x\in A$，同时满足 $x\notin B$。 一个反例

这组对比揭示了包含关系的判断边界：共同元素的多少不是标准，$A$ 的每一个元素能否落入 $B$ 才是标准。

集合相等与真子集：包含要检查几个方向

一个方向的包含只能说明 $A$ 的元素都在 $B$ 中；要判断两个集合是否相等，还必须反过来再检查一次。

设 $A=\{1,2\}$，$B=\{1,2,3\}$，$C=\{2,1\}$。虽然 $A$ 与 $C$ 的书写顺序不同，但它们包含的元素完全相同：$A$ 的每个元素都在 $C$ 中，$C$ 的每个元素也都在 $A$ 中。

因此，判断两个集合相等，需要同时确认两个包含方向：

只知道 $A\subseteq B$，不能直接得到 $A=B$。在这个例子中，$A\subseteq B$，但 $3\in B$ 且 $3\notin A$，所以 $A\ne B$。这时称 $A$ 是 $B$ 的真子集，记作 $A\subsetneqq B$。真子集不仅要求 $A\subseteq B$，还要求较大的集合中至少有一个元素不在较小的集合中。

下面仍使用同一组集合，重点比较“两个方向都包含”和“只有一个方向包含”分别得到什么结论。

$A$ 与 $C$ $A\subseteq C$，并且 $C\subseteq A$。 $A=C$

$A$ 与 $B$ $A\subseteq B$，但 $3\in B$ 且 $3\notin A$。 $A\subsetneqq B$

接下来讨论没有任何元素的空集，以及它在包含关系中的特殊位置。

空集：没有元素，却有确定的包含位置

空集的特殊之处不在于符号，而在于它没有任何元素；这个事实同时决定了它与其他集合的包含关系。

空集容易与数字 $0$、集合 $\{\varnothing\}$ 混淆。下面把三者分开，是为了检查它们分别是什么对象、含有多少元素。

表中真正要区分的是对象层级：$\varnothing$ 自身没有元素，而 $\{\varnothing\}$ 把空集作为唯一元素放进了另一个集合。

空集还是任意集合的子集。若要否定 $\varnothing\subseteq A$，必须从空集中找到一个不属于 $A$ 的元素；但空集没有元素，所以这样的反例不可能存在。因此，对任意集合 $A$，都有

这里的 $\varnothing\subseteq A$ 只表示空集与 $A$ 的包含关系，并不表示空集本身一定是 $A$ 的元素。

两类符号：元素关系与集合关系不能混用

判断式是否写对，先看符号两边分别是什么对象：一个是元素归属，另一个是集合之间的包含。

$a\in A$ 的左边是一个元素，右边是一个集合；$M\subseteq A$ 的两边都是集合。

下面比较 $a\in A$ 与 $M\subseteq A$，检查符号两边的对象层级。

仍以 $A=\{1,2\}$ 为例，$1\in A$ 表示数字 $1$ 是 $A$ 的元素；$\{1\}\subseteq A$ 表示集合 $\{1\}$ 的每个元素都属于 $A$。图中的符号差别，正对应这两个判断对象的层级差别。

分清符号层级后，包含关系还有两个直接结果：

核心理解：把关系还原为逐个元素检查