函数的最大值与最小值

最大值需要两个条件

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$。判断实数 $M$ 是不是最大值，要检查下面两个条件。

第一，对 $D$ 中的每一个 $x$，$f(x)$ 都不能超过 $M$：

第二，必须能在 $D$ 中找到一个 $x_0$，即 $x_0\in D$，使 $f(x_0)$ 等于 $M$：

最大值是 $M$，不是 $x_0$。$x_0$ 说明 $x$ 取什么数时，$f(x)$ 等于 $M$。不同的 $x$ 可能都使 $f(x)$ 等于 $M$，但最大值仍是同一个数。

最小值也需要比较和取得

判断实数 $m$ 是不是最小值，也要检查两个条件，只需把比较方向反过来。

第一，对 $D$ 中的每一个 $x$，$f(x)$ 都不能小于 $m$：

第二，必须能在 $D$ 中找到一个 $x_0$，即 $x_0\in D$，使 $f(x_0)$ 等于 $m$：

最大值和最小值统称为函数的最值。一个函数可能同时有最大值和最小值，也可能只有其中一个，或者两个都没有。

用整个定义域检查最值

设 $f(x)=x^2$，定义域为 $[-1,2]$。先看这段区间内所有的 $x^2$ 都在哪两个数之间，再看这两个数能不能取到。

对任意 $x\in[-1,2]$，都有 $|x|\le2$。平方数非负；把 $|x|\le2$ 两边平方，又得到 $x^2\le4$。合起来就是

这说明每个 $x\in[-1,2]$ 对应的函数值都不小于 $0$，也不大于 $4$。

当 $x=0$ 时，$f(0)=0$；当 $x=2$ 时，$f(2)=4$。$0$ 和 $2$ 都在定义域 $[-1,2]$ 内，所以这两个函数值都能取到。函数的最小值是 $0$，最大值是 $4$。

看 $x\in[-1,2]$ 时的整段图象：所有点的纵坐标都在 $0$ 与 $4$ 之间，最低处和最高处也都有图象上的点。

只比较几个点，不能说明其他的函数值也符合要求。判断最值，要说明不等式对定义域中的每一个 $x$ 都成立，还要指出哪个 $x$ 能使等号成立。只看图象的一小段也不够。

有上界不等于有最大值

再看 $f(x)=x$。解析式相同，定义域是否包含端点，会让最值的结论不同。

先设定义域为开区间 $(0,1)$。对任意 $x\in(0,1)$，都有

因为 $f(x)=x$，当 $x$ 取遍 $(0,1)$ 时，函数值也恰好取遍这个开区间。无论选其中哪个数，区间内都还有比它大的数，也还有比它小的数。因此，这个函数没有最大值，也没有最小值。

$1$ 大于所有函数值，所以是函数值的一个上界。但 $1\notin(0,1)$，$x$ 不能取 $1$。不存在定义域中的 $x_0$ 使 $f(x_0)=1$，所以这个上界 $1$ 也不是最大值。

同理，$0$ 是下界，但 $x$ 也不能取 $0$，函数值就不可能等于 $0$。所以这个下界 $0$ 也不是最小值。

再看解析式仍为 $f(x)=x$、定义域为 $[0,1]$ 的函数。这时 $x$ 可以取 $0$ 和 $1$，相应的函数值就是 $0$ 和 $1$。因此，这个新函数的最小值为 $0$，最大值为 $1$。

对照两幅图的端点：两条线段的位置相同。空心点表示 $x$ 不能取该端点的横坐标，实心点表示可以取。

真正要检查的两件事