高中数学 · B 模块

函数图像与变化关系

函数从输入与输出的对应关系出发，描述一个量怎样随另一个量变化。先认识函数及其表示，再讨论变化方向、最值与对称性；接着联系幂、指数和对数，继续研究增长、零点与实际数量关系。

函数基础

从函数关系到基本性质

函数用确定的对应关系描述输入与输出，基本性质则刻画变化方向、取值范围和对称性。重点是结合定义域理解这些性质。下面五篇从函数的概念与表示，展开到单调性、最值和奇偶性。

  1. 01 函数的概念、定义域和值域先确定输入范围，再分清唯一输出、函数值与值域。
  2. 02 函数的表示法与分段函数比较解析式、数表与图象，按输入范围读懂分段规则。
  3. 03 函数的单调性与单调区间比较同一区间内任意两个输入，判断递增与递减。
  4. 04 函数的最大值与最小值检查全部函数值的范围，以及最大或最小的值能否取到。
  5. 05 函数的奇偶性先检查定义域，再比较相反输入的函数值与图象对称。

幂与指数

认识幂函数，扩展指数

幂函数把不同的乘方关系放在同一种形式下，指数的扩展则把开方与乘方联系起来。重点是理解根式与幂的意义及成立条件。下面五篇介绍幂函数、实际数量关系，以及从方根到实数指数幂的扩展。

  1. 06 幂函数的概念辨认幂函数的标准形式，分清自变量与固定指数。
  2. 07 典型幂函数的图象与性质比较五个典型幂函数的定义域、对称性与单调区间。
  3. 08 用函数表示实际数量关系从变量与数量关系写出函数，并保留实际范围和单位。
  4. 09 n 次方根与分数指数幂从乘方理解方根，再联系根式与分数指数幂。
  5. 10 无理数指数幂与实数指数幂理解指数范围的扩展，并检查底数条件与运算性质。

指数对数

联系指数、对数与函数

指数与对数从两个方向表达同一乘方关系，可用于运算和比较大小。重点是理解底数条件、运算依据与函数性质的联系。下面六篇依次介绍指数函数、对数及其运算和对数函数。

  1. 11 指数函数的概念分清固定底数与变化的指数，理解指数函数的形式。
  2. 12 指数函数的图象与性质根据底数与 1 的关系，比较图象特征和变化方向。
  3. 13 对数的概念在指数等式与对数写法之间转换，读清各个量的含义。
  4. 14 对数的运算与换底公式理解对数运算与换底的依据，检查公式的适用条件。
  5. 15 对数函数的概念从对数值走向对应关系，理解定义域与输入输出。
  6. 16 对数函数的图象与性质联系底数、图象与单调性，比较同底数的对数。

增长与应用

比较增长，研究零点与模型

函数可以用于比较增长趋势、研究方程的解和描述实际变化，应用时需要明确条件与范围。下面五篇介绍增长比较、零点、二分法与模型应用，最后一篇选学内容研究底数变化的对数函数。

  1. 17 不同函数增长速度的比较区分局部数值大小与充分大时的增长趋势。
  2. 18 函数零点与方程的根联系函数零点、方程的根与图象，并检查定义域。
  3. 19 零点存在性的判断同时检查连续与异号条件，读清零点存在的结论。
  4. 20 用二分法求方程近似解在适用条件下逐步缩小区间，用区间长度控制精度。
  5. 21 函数模型的选择与应用根据变化关系选择模型，再用数据检查参数与适用范围。
  6. 22 变底数的对数函数 [选学]固定真数、改变底数，借助换底公式理解两个分支。